第一章 函数与极限第1节 函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解教学内容：1. 函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。的取值范围叫函数的值域。2. 定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1求的定义域解：且 且或 定义域为3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4. 复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例2 可复合成注意：就不能复合。例3 可以看作是复合成的复合函数。5. 反函数设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。应当说明的是，虽然直接函数是单值函数，但是其反函数却不一定是单值的。例如，的定义域为，值域。任取非零的，则适合的的数值有两个：。所以，直接函数的反函数是多值函数：。如果把限制在区间上，则直接函数，的反函数是单值的。并称为直接函数，的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为。一个函数若有反函数，则有恒等式。相应地有。例如，直接函数的反函数为，并且有，。由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数。反函数与，这两种形式都要用到应当说明的是函数与它的反函数具有相同的图形。而直接函数与反函数的图形是关于直线对称的。6. 函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的。而函数在区间内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上都是偶函数。而、在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。7. 初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数 它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示（3）对数函数 定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。图1-3图1-2（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示。（6）常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。图1-6通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备作业：作业卡 P1P2第2节 极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学内容：1. 数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作它的解析定义是：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然收敛数列有下述3个性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限。性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界。性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。2. 函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零。如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作。它的解析定义是：设函数当大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。显然，存在的充分必要条件是3. 函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作。现在考虑自变量的变化过程为。如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限。当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的。它的解析定义是：设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于；（3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关。显然，关于函数的极限有如下定理：定理1（极限的局部保号性） 如果，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）。定理1 如果（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有。定理2 如果在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）。上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的。但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形。在的情形，在的左侧，。在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或。类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或。根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即。因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在。图1-7例4 函数当时的极限不存在。证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义作业：作业卡P3第三节 无穷大与无穷小教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量以及有量之间的关系，掌握它们的性质教学重点：无穷小量和无穷大量的概念教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质教学内容：前面我们研究了 数列的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限，这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即。定义2 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作。显然，时，都是无穷大量， 时，都是无穷小量。注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无