迭代法的改进与应用 武汉市第48中学马芳鑫2011.4.5定稿 核心提示：本文对传统的迭代法作了一些改进，使得这方法 简单，更加便于应用，同时自编了一首助记诗，便于记忆。这种方法的特征在于拉，因此我把这种新的迭代法命名为马尼拉法，简称拉法。可以这样说，一法在手，扫遍天下。核心词；迭代法，改进，简单，易记。拉法。正文：迭代法是一种古老而实用的方法，但因解题程序冗长，且不容易记住展开式的第二项，且往往计算量很大，而让很多学生却步。本人经过详细研究，对迭代法进行了大胆的改进，使得它既简单又便于记忆，现在把它介绍给大家。一 迭代法及解题程序.迭代，最直白的意思就是代代相传，就是对输出的结果进行同样的操作。要完成一次迭代必须给定种子和迭代法则。根据这个原理总结出的解题程序就叫迭代法。 父系： - 母系 ： - -从遗传学的角度看：是隔2代分配，即二.展开式结构图的深入分析用迭代法求的通项传统的方法一般是这样的 解： =p(p =- = =- = =这就是传统意义上的用迭代法求递推数列的解题程序，共有10步。前7步是展开的过程，难点是的第二项怎么写，是计算过程，难点是怎么转化到，怎么正确计算到。我们把组成的图叫迭代展开图。为了便于优化，下面我们进行一次深入详尽的分析：让我们先作纵向的分析：先看迭代图左边的第一列，从上往下看，p的指数从1到n-1,是递升的，a下标由n-1到1，是下降的，p,a的指标和是定值n，也就是数n的折分。从整体看，它就是等比数列的通项公式，因此这个数列的通项公式应当有等比的成分，再加一个修正项才是合理的，而最后的结果正是这样，而等比数列又是我们相当熟悉的，因此，我们就能理解第一列是怎么产生的，1到m再到n-1,上标与下标相对运动，最终对调了，象下拉的窗帘，下拉的菜单，而这些东西都是可上可下的，因此我们的展开式应当也是可以随意展开到任何一步的，象滚动的屏幕。这样，我们是不是对第一列是怎么产生的有了一个动态的形象的理解了，也就不存在不理解的理由了。再看最后的一列，斜线形的，每一项是，象阶梯。因此，我们可以得出这样的结论，斜线展开，尾项不变。把上面这两点结合起来就可以得出这样的概念：整个展开式象梯形结构下面再作横向的分析：先从左至右看每一行，容易看出，每一项都都是由pq的幂组成的积，p的指数成降幂排列，一直到0， q的指数是升幂排列的，但它的指数是从3开始的，为什么会是这样的呢？有什么规律没有？这个问题同样困扰了我很久，因为看来的东西，并不都是坚信不疑的，我对此进行了很长时间的研究，试图从理论上加以说明.让我们回到递推公式中去，我发现一切密秘都隐含在递推式中，它早已告诉了我们，只是我们没有发现而已。我想，只要我们知道每一项是怎么产生的，我们就没有现理由说，第二项我不知道怎么写了。我们把递推公式象下面这样改写一下 两和一降相差2：它告清楚无误地告诉我们相邻两项p的指数永远是相差1的，并且是左大右小，这是先天的，与生俱来的，所以p当然是降幂排列的。a,q的指标永远相差2=(n+1)-(n-1)，从遗传学的角度看，它正好是所隔的代数2。第二项是n+1次齐次式。核心是：首项指标和相等，和为 n，a,q指标差相等，差为2，这两条就是整个递推关系的密钥！而等差是核心的核心！因为这是一条我们以前未发现的性质，也正是我们写不出展开式第二项的原因所在。通俗地讲：首项的指标就是把n折成两个正整数的和，而a,q的指标就是把常数2折成两个正整数的差，这就是这个递推公式的核心。一般地讲，不同的递推公式aq有着不同的差，也就是所隔的代数一般是不同的。 下面重点看每个等式的第二项是怎么产生的，也就是下一项是怎么脬出来的，比如 下面我们用“核分裂”说，来解释这一现象，我们先作一个约定：每一个都可以看成是一个可分裂的“核”。一次迭代视作一次分裂。p叫做配子，只有成熟的配子才能分配。因此，上面的递推关系就可以改述成：核向外膨胀到一定的程度就会发生分裂，每一次分裂都产生一个新的“核”和一个未成熟的配子p，另加一个待配项。核分裂流程：每一次分裂产生一个新的核和一个未成熟的配子p,另加一个待配项， 壁外待分配子则与待配项进行分配，产出新生项 ，并被拉到适当的位置排好，同时，新配子p成熟并移至壁外与原有配子结合成待分配子并储存下来等待下一次分配。至此，一次核分裂就算完成了。如此重复下去，将会不断地有新生项诞生，队（展开式）也将排得越来越长了，象拉杆天线！象生长的乐口销，象流水线，象卷尺！。而递推公式正好给出了这种核裂变的机理。到此，我们就知道，每一个等式的第二项即新生项就是这样产生，这样“拉”出来的。一句话，有了正常的配子，又有了正常的待配项，生产出正常的新生项是再自然不过的事，这样说也许对我们理解展开式每一个等式的第二项是怎么来的会有所帮助了！从理论上我们还可以证明每一新生项的次数一定是n+1次我们假定现在已递归到第m代，即，由于p,a的指标和是定值n,所以壁外已成熟的配子数只能是n-m-1.由于是隔2代分配，所以待配项q的指数一定是m+2,即，分配后生出来的新生项就是，它的次数是(n-m-1)+(m+2)=n+1.由于展开式从第二项起每一项都是这样生出来的，所以每一项的次数都是n+1,因此，展开式从第二项起，都是n+1次齐次式，ok! 综上所述，我们对迭代展开图有了一个清析动态的理解：它象卷帘一样象下拉的菜单，可以自由的上下拉动，左右拉动。各项之间相互联系，各元素之间相对运动，矛盾对立但和谐共生。随着上下的拉动，展式向右逐次展开，整个展开式图呈梯形结构，就象列车运行票价图。这样我们就把静止的迭代展开图变得生动活泼了。从量的关系上看，一个等和，一个等差，是递推的核心！是密钥！ 三方法改进1程序优化 由于迭代展开图上下是一种帘式反应，所以我们只要知道起点就可知终点，还可以写出中间的任意一行的展开式。因此展开时只须写起点和终点的程序，而中间点则成为行的通式，即 起点 中间=终点= 这大大地简化了解题的程序2 计算简化是等比数列求和，我们将改进计算方法，不是直接用等比数列的求和公式而是用两个字母的求和公式而且是它的变式即公式这是新教材必修5，第68页B组的第一题的变式。今后我们会大量使用这个公式有了上面两次大的简化。这样整个解题程序也就只有下面三步了解：=这是一种全新的解法，因为是本人发现的，读者你也许将会使用这个方法，而且此法的特点是“拉”，所以本人将这个方法命名为马你拉法，谐音：马尼拉法 四助记诗。现在我们已经知道怎么用马尼法解题了，但这还不够，时间长了就会遗忘的。为了帮大家理解记忆我花了很长的时间编了一首助记诗，叫马尼拉诗，现有3个版本： 马尼拉1.0: 加1括号，首项对调；向后一拉，中间相加，降幂排列，指数补差；妙用公式，检验作答。 马尼拉2.0:加1括号，首项对调； 向后一拉，两底之积，中间相加； 降幂排列，一降一升，指数补差； 提取补差，系数相乘，上加下差。 通分化简，检验作答！ 这是个完整版，适合基础很差的学生用。 马尼拉3.0 ：加1括号，首项对调，一拉就到！妙，妙，妙！ 马尼拉诗适合各个层次的学生，只要有加减乘除正负号等到知识就可以做目前所出现的题 五背诗做题扫遍天下，一拉就到了！ 1 解：加1括号：指数1，系数1=首项对调 两边一拉两底之积 中间相加 =降幂排列=一降一升指数补差妙用公式=检验作答 背诗做题，一气呵成，于是下题可这样做：2. 加1括号： 首项对调： 向后一拉：= 两幂之积： 中间相加； 降幂排列， 指数补差，= 提出补差， 上加下差， 通分化简， 检验作答。 这个版本适合于只会加减乘除，正负数的学生做。3. （）解： 加1括号： 首项对调： 向后一拉： 两幂之积： 中间相加； 降幂排列， 指数补差， 提出第二， 系数相乘， 上加下差， 通分化简，检验作答 做完了这几道题目可以看出，诗的有些句子是可减的，基础好的学生甚或可以直接写出结果了！ 例如 加1括号，一拉就到 公式了！马尼拉3.0真给力！三个经典例子显现这个方法的优越性 1 解：加1括号，首项对调， = 一拉就到。 =1.这就是我们熟知的常数列 1 ，1，1，1， 2 解：这就是.等比数列 如果用构造法将会出现： 设得x=-3于是这是一个常数数列，并非等比数列.这并不是每一个人都能理解的.3 下面先用等比构造法来做：设则 下面如何进行？我看好多人会束手无策了！当然可用除幂对应转化法来做：是首项为公差的等差数列.共有6步.再用马尼拉法法试试： 多么简洁飘亮!3步就搞定了！真的是：理解加记忆做题真给力！同时充分说明迭代法是通法通则，思维呈线性，解题步骤少于构造法。缺点是：展开式易写错，倒数第二步如果用等比求和公式则较繁。核机制、马尼拉诗实破了前一个难点，公式则实破了后一个难点，并且只要具备有理数运算知识就能完成上面的工作，特别适合文科学生，因此不失为一种好方法，让古老的数学方法焕发出了青春！你能自编一些题目做做吗？或许你还会有新的发现！祝你成功！变更法则再迭代，也就是所谓的构造等比数列法，其实叫等倍数列法也许更确切。下面举例说明1 解：只有一项就对调。此法可以叫做等倍迭代，今后遇到等倍迭代只须指标对调就到了答案了，不用担心首项是否为零。它是马尼拉法的特殊情形,只有首项，对调即可。因此这个方法也可叫马特法！唯马首是瞻。2解：用一点换元的思想，把（）看成一项 现在你明白了吧，等比构造法只是我们马尼拉法的特例。由于迭代展开图可以象卷帘一样上下拉动，所以，我们还可以象乘公交车一样在中途的任意一个站点下车，也可以象查家谱一样想查哪一代就查哪一代。请看下例例：，这是用马特法直接用马尼拉法也不算烦=由于我们已经深刻地了解了迭代