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2019届 北师大版数学精品资料www.ks5u.com第三课时 导数与函数的单调性(三)一、教学目标:1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2.掌握利用导数判断函数单调性的方法二、教学重难点:利用导数判断函数单调性.三、教学方法:探究归纳,讲练结合四、教学过程(一)、复习:1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x1,x2I,且当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1,x2I,且当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算3、定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 4、用导数求函数单调区间的步骤:求函数f(x)的导数f(x).令f(x) 0解不等式,得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式,得x的范围,就是递减区间.(二)、探究新课例1、确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)=(x22x+4)=2x2.令2x20,解得x1.当x(1,+)时,f(x)0,f(x)是增函数.令2x20,解得x1.当x(,1)时,f(x)0,f(x)是减函数. 例2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)=(2x36x2+7)=6x212x,令6x212x0,解得x2或x0当x(,0)时,f(x)0,f(x)是增函数.当x(2,+)时,f(x)0,f(x)是增函数.令6x212x0,解得0x2.当x(0,2)时,f(x)0,f(x)是减函数. 例3、证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.证法一:(用以前学的方法证)任取两个数x1,x2(0,+)设x1x2.f(x1)f(x2)=x10,x20,x1x20x1x2,x2x10, 0f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)= 在(0,+)上是减函数.证法二:(用导数方法证)f(x)=( )=(1)x2=,x0,x20,0. f(x)0,f(x)= 在(0,+)上是减函数.例4、求函数y=x2(1x)3的单调区间.解:y=x2(1x)3=2x(1x)3+x23(1x)2(1)=x(1x)22(1x)3x=x(1x)2(25x)令x(1x)2(25x)0,解得0x. y=x2(1x)3的单调增区间是(0,)令x(1x)2(25x)0,解得x0或x且x1.为拐点,y=x2(1x)3的单调减区间是(,0),(,+)例5、已知函数 在区间上是增函数,求实数的取值范围解:,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得:;所以实数的取值范围为说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解(三)、小结:本节课学习了利用导数判断函数单调性.(四)、课堂练习:(五)、课后作业:1、求证:函数在区间内是减函数证明:因为当即时,所以函数在区间内是减函数2、已知函数 在区间上是增函数,求实数的取值范围解:,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得:所以实数的取值范围为。五、教后反思:
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