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函数的奇偶性 教学目标:1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念;使学生掌握判断函数奇偶性的方法;2. 培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。教学重点:函数奇偶性的概念教学难点:函数奇偶性的判断和证明。教学过程:(一)知识要点:1.奇偶性的定义: (1)偶函数的定义:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数。例如:函数, 等都是偶函数。(2)奇函数的定义:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数。例如:函数,都是奇函数。(3)奇偶性的定义:如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性。2.说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:(1)其定义域关于原点对称;(2) 或必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 (4)函数既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于轴对称,那么这个函数是偶函数。(6)奇函数若在时有定义,则(二)例题选讲:例1判断下列函数的奇偶性:(1)(奇函数)(2)(既是奇函数又是偶函数)(3)(非奇非偶函数)(4) (非奇非偶函数)(5)(既是奇函数又是偶函数) (6)(偶函数) 例2判断下列函数的奇偶性: (1) (既是奇函数又是偶函数) (2)(奇函数)说明:在判断与的关系时,可以从开始化简;也可以去考虑或;当不等于0时也可以考虑与1或的关系。例3已知函数若,求的值。解:构造函数,则一定是奇函数 又, 因此 所以,即说明:函数的奇偶性不但可以求函数值,也可以利用奇偶性的图象性质作函数图象。例4已知:函数在上是奇函数,而且在上是增函数,证明:在上也是增函数。证明:设,则在上是增函数。,又在上是奇函数。,即所以,在上也是增函数。说明:函数的奇偶性和单调性的综合:奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致;偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反!例5为上的奇函数,当时,求的解析式。解:设,由于是奇函数,故, 又,由已知有从而解析式为例6定义在上的奇函数为减函数,且,求实数的取值范围。解:奇函数 又在上为减函数, 解得练习巩固:1.判断下列函数的奇偶性(1) (2) (3) (4) (5) (6)2.下面四个结论:偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定通过原点;偶函数的图象关于y轴对称;既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR),其中正确命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D43. 已知函数f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,则f(-a)等于 ( )(A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M4.函数F(x)=(1+2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x) ( )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数,又是偶函数 (D)非奇非偶函数5.函数f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数,则b= 6.已知f(x) 是奇函数,且当x(0,1)时,f(x)=ln(1/(1+x),那么当x(-1,0)时,f(x)= 7.定义在上的偶函数,当时,为减函数,若成立,求的取值范围。8. 已知,当为何值时,为奇函数。9. 偶函数在上单调递增,比较的大小。10.已知是R上的偶函数,当时,求的解析式。11. 函数定义域为,且对于一切实数都有,试判断的奇偶性。12.判断函数f(x)=的奇偶性。1
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