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数列求和的各种方法 数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1。等比数列的前n项和公式()当q1时,Snna1;()当q1时,Sn.常见的数列的前n项和:, 1+3+5+(2n1)=,等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求anbn的前n项和,其中an和bn分别是等差数列和等比数列(6)并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解例如,Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2。 常见的裂项公式(1);(2)();(3)();(4);(5)()(6)设等差数列an的公差为d,则()数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016新课标全国)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b11,b2,anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和。2。(2013新课标全国,17)已知等差数列an的公差不为零,a125,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1a4a7a3n2.变式训练1.(2015四川,16)设数列an(n1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列的前n项和为Tn,求Tn。2。(2014福建,17)在等比数列an中,a23,a581。(1)求an;(2)设bnlog3an,求数列bn的前n项和Sn。考点二 错位相减法1.(山东)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列,且 ()求数列的通项公式;()令 求数列的前n项和Tn.2.(2015天津,18)已知数列an满足an2qan(q为实数,且q1),nN*,a11,a22,且a2a3,a3a4,a4a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn,nN,求数列bn的前n项和。变式训练1。(2014江西,17)已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0,nN)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn,求数列cn的通项公式;(2)若bn3n1,求数列an的前n项和Sn。2。(2014四川,19)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*).(1)若a12,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn;(2)若a11,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2,求数列的前n项和Tn。3。(2015湖北,18)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1a1,b22,qd,S10100。(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d1时,记cn,求数列cn的前n项和Tn。4(2015山东,18)设数列an的前n项和为Sn。已知2Sn3n3。(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbnlog3an,求bn的前n项和Tn.5.(2015浙江,17)已知数列an和bn满足a12,b11,an12an(nN*),b1b2b3bnbn11(nN).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.6.(2015湖南,19)设数列an的前n项和为Sn,已知a11,a22,且an23SnSn13, nN。(1)证明:an23an;(2)求Sn.考点三 分组求和法1.(2015福建,17)在等差数列an中,a24,a4a715.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnn,求b1b2b3b10的值.2.(2014湖南,16)已知数列an的前n项和Sn,nN.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn(1)nan,求数列bn的前2n项和.变式训练1.(2014北京,15)已知an是等差数列,满足a13,a412,数列bn满足b14,b420,且bnan为等比数列。(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和。考点四 裂项相消法1.(2015新课标全国,17)Sn为数列an的前n项和已知an0,a2an4Sn3。(1)求an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和2。(2011新课标全国,17)等比数列an的各项均为正数,且2a13a21,a9a2a6。(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog3a1log3a2log3an,求数列的前n项和3.(2015安徽,18)已知数列an是递增的等比数列,且a1a49,a2a38.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn,求数列bn的前n项和Tn。变式训练1。(2013江西,16)正项数列an满足:a(2n1)an2n0。(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn,求数列bn的前n项和Tn。2。(2013大纲全国,17)等差数列an中,a74,a192a9.(1)求an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Sn.3.在数列an中,a11,当n2时,其前n项和Sn满足San。(1)求Sn的表达式;(2)设bn,求bn的前n项和Tn。考点五 倒序相加法已知函数f(x)(xR)(1)证明:f(x)f(1x);(2)若Sf()f()f(),则S_。变式训练1。设f(x),若Sf()f()f(),则S_。考点六 并项求和1.(2012新课标,16)数列an满足an1(1)nan2n1,则an的前60项和为_.2.(2014山东,19)在等差数列an中,已知公差d2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,记Tnb1b2b3b4(1)nbn,求Tn。变式训练1。(2014山东理,19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn(1)n1,求数列bn的前n项和Tn。2.(2013湖南,15)设Sn为数列an的前n项和,Sn(1)nan,nN*,则:(1)a3_;(2)S1S2S100_。考点七 数列|an|的前n项和问题1。(2011北京,11)在等比数列an中,若a1,a44,则公比q_;a1|a2|an_变式训练1.(2013浙江,19)在公差为d的等差数列an中,已知a110,且a1,2a22,5a3成等比数列。(1)求d,an;(2)若d0,求a1|a2|a3|an|.考点八 周期数列1。已知数列2 008,2 009,1,2 008,2 009,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0变式训练1.(2012福建)数列an的通项公式anncos,其前n项和为Sn,则S2 012等于()A.1 006 B。2 012 C。503 D.0考点九 数列与不等式的应用 1(2014新课标全国,17)已知数列an满足a11,an13an1。(1)证明是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明。2.(2015浙江,20)已知数列an满足a1且an1ana(nN*)(1) 证明:12(nN);(2)设数列a的前n项和为Sn,证明:(nN)3。(2013江西,理)正项数列an的前
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