杭州长成教育 专业初中、高中辅导竞赛数学情况调查测试卷2005年8月27日一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数的递增区间是（）（A）2,)（B）(,0 或2,) （C）(,0（D）(,1或,) 2、方程2002x2003x2004x2005x的实根个数为（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）至少3个3、已知f(x)asinxb (a,b,c为实数)，且f(lglog310)5，则f(lglg3)的值是（）（A）5（B）3（C）3（D）随a,b,c而变4、若函数f(x)a2sin2x(a2)cos2x的图象关于直线x对称，则a的值等于（）（A）或（B）1或1（C）1或2（D）1或25、已知，则coscos的值等于（）（A）1（B）（C）（D）6、已知在数列an满足，a12，an2(1an)1an，则a2005的值为（）（A）2（B）2（C）2（D）2 二、填空题（每小题9分，共54分）7、在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C的度数为 .8、已知函数的反函数图象关于点(1,4)成中心对称，则实数a .9、已知一个4元集合S的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S的元素之和等于 .10、若3f(x2005)4f(2005x)5(x2005)，对所有实数x成立，则f(x)的解析式是f(x) .11、函数f(x)的最小值是 .12、已知正整数n不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n有 个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数ysinxasin2xcosx.（1）当sinx1时，求y的值； （2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围. （18分）14、n2(n4)个正数排成n行n列a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3na41 a42 a43 a4n an1 an2 an3 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a241, a42, a43，求Sa11a22ann.15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y (x1) 2，由对勾函数的增减性立知选B.2、B 原方程即为 ，考查两个函数y和y，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B.3、C 容易判断f(x)f(x)8，且lglog310 lg lg lglg3，故有f(lglog310) f(lglg3)8，从而f(lglg3)3. 选C4、C 函数f(x)a2sin2x(a2)cos2x的图象关于直线x 对称，则f()应取得函数的最大值或最小值。所以，a2sin(2)(a2)cos(2) ，由此解得a1或2. 选C5、A 由题意得 2, 即 ，用余弦的和与差公式展开并利用合分比定理，可得 , 即 . 故coscos4sin2 sin2 (1cos)(1cos)，故coscos1. 选A6、C 首先易得an1, 否则有02的矛盾。所以有an2，则an4 ，从而我们可得an4 ，an为周期为8周期数列. 故a2005a25085a5a41. 选C7、30或150 两式平方相加，得91624(sinAcosBsinBcosA)37，即有24sin(AB)12，所以sinC，故C30或150.8、3 反函数关于点(1,4)对称，则原函数关于点(4,1)，又原函数即为，由平移规律立得其对称中心为(a1,1)，与(4,1)比较得a3.9、2005 在求所有子集元素和总和的时候，集合的每一个元素都被重复求和计算238次，故集合S的元素之和为10、5x 令tx2005，则原函数方程就变为3f(t)4f(t)5t，对此式中以t代t得，由两式消去f(t)可得7f(t)35t，故f(t)5t，即f(x)5x.11、2 原函数的定义域为(,02,)，且在(,0上为增函数，在2,)为减函数，又f(0)2, f(2)2，所以原函数的最小值为2.12、6 可以计算出123621953, 123632016，这样看来，2005最多可表示为62个连续正整数的和。下面分3种情况说明：（1）若n表示为62个连续正整数的和，则满足要求的n只有一个为1953（因为2346320152005)；（2）若n表示61个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m，则由m(m1)(m60)61(m30)2005可得m2，从而满足要求的n有两个：12611891和23621952；（3）若n表示60个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m，则由m(m1)(m59)30(2m59)2005可得m3，从而满足要求的n有三个为：12601830，23611890及34621950.综合（1）（2）（3）得满足要的正整数n共有6个，它们为：1953、1891、1952、1830、1890和1950.13、（1）显然，当sinx1，时y1（2）由（1）知，函数值中必有1，从而问题就是求使对任意x，总有sinxasin2xcosx1，即gsinxasin2xcosx10成立的a的取值范围。令tsinx (t), 则gsinxa(2sinxcos2x)1sinx2asinx(1sin2x)12at3(12a)t1(t1)(2at22at1)由t1恒成立知，问题即要求使2at22at1，即2at22at1在t时恒成立的a的取值范围。1）当a0时，1显然满足题意2）当a0时，即为t2t(t)2在t时恒成立，故有(1)2结合a0得，3）当a0时，即为t2t0在t1,1时恒成立，故有0结合a0得，2a0综合上述1）、2）、3），得所求a的取值范围为14、设第一行数的公差为d，各列的公比为q，则第二行的公差是dq，第四行的公差为dq3, 于是，由题设得出方程组因为n2个数均为正数，可知只能有a11dq从而，对于任意，有akka1kqk1a11(k1)dqk1故S （1）这类数列的求和，我们通常用错位相减法，给（1）两边乘以可得 （2）(1)(2), 得故可求得15、把出发地称为A，车站称为B。显然，职员必须分为3批乘车，每批4人，按乘车先后分别称他们为甲组、乙组、丙组。不在车上的职员让他们在到达火车站之前保持步行前进。假定轿车把甲组送到离A的x千米处，然后返回接乙组。当轿车接到乙组后，把乙组送y千米，再返回接丙组，显然整个过程决定于x和y的值。1）设在3小时内从公司到火车站至少须乘车z千米，则有，解得。这说明乙，丙两组至少乘车距离为千米。为了使甲组极早赶到火车站，应使乙、丙两组尽量减少乘车距离，所以，乙、丙两组乘车距离均为y千米。2）当轿车送出甲组x千米之后返回，当接到乙组时，已耗时。此时，乙、丙两组离A是千米，离B地是千米。从此时开始，轿车送乙组千米后返回接丙组。接到丙组已耗时小时，这也是丙组从此时之后的步行时间。所以在千米这段时间内，丙组步行距离为千米，乘车距离为千米，从而有解得x3）由上述1）和2）知，甲组抵达车站共耗时小时，比3小时提前小时，约为1小时37分钟。