第24讲 包含与排除教学目标 l 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容l 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用知识梳理 一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积1先包含重叠部分计算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数用符号表示为：图示如下：图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数1先包含：重叠部分、重叠了次，多加了次2再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行 计算时都被减掉了3再包含：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考典例分析 考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加数学兴趣小组的人，与重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人图中圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有(人)方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人) 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：(人)例2、对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人两项都会的有人，两项都不会的有人这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，圆表示会游泳的人数，圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：(人)，全班人数为： (人)例3、在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员人，圆表示采了樱桃的人数，圆表示采了杏的人数长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：(人)，而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：(人)例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么就可以求出其他年级的画作共有3幅考点二：三量重叠问题例1、全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有个人数学不及格，那么，（1） 数学成绩优秀的有几个学生？（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？【解析】（1）有个数学不及格，那么及格的有：(人)，即最多不会超过人会这三项运动之一而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：(人)至少会这三项运动之一于是，至少会三项运动之一的只能是人，而这人又不是优秀，说明全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以没有数学成绩优秀的（2）上面分析可知，及格的人中，每人都会两项运动；会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车所以，全班有(人)既会游泳又会滑冰考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长(厘米)例2、两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，如果利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，被覆盖面积长方形面积之和-重叠部分于是，被覆盖面积(平方厘米)例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？【解析】将图中的三个圆标上、根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积(圆面积圆面积圆面积与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积三个纸片共同重叠的面积，得：与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积，得到、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：(平方厘米)考点四：容斥原理在数论问题中的应用例1、在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？【解析】如图，用长方形表示的全部自然数，圆表示中的倍数，圆表示中的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是的倍数也不是的倍数的数由可知，中的倍数有个；由可知，中的倍数有个；由可知，既是的倍数又是的倍数的数有个由包含排除法，或的倍数有：(个)从而不是的倍数也不是的倍数的数有(个)考点五：容斥原理中的最值问题例1、将113这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240.实战演练 课堂狙击1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。【解析】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有3742=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：7948=31人。2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？【解析】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有2515=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：1023=33人。所以，两题都答得不对的有3633=3人。3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【解析】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：5625=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：282731=24人。4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？【解析】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有1005=20个，6的倍数有16个（1006=164），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（10030=310）。因此，是6或5的倍数的个数是16203=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：10033=67个。5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【解析】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。2422=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（242210）2=18幅。 课后反击1、芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】如图，圆表示学画画的人，圆表示学钢琴的人，表示既学钢琴又学画画的人，图中圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：(人)，图中圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：(人)2、科技活动小组有人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？【解析】因为，所以必有人两项制作都完成了由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数完成了两项制作的人数，即完成了两项制作的人数所以，完成了两项制作的人数为：(人)3、五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、五个小组，若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人那么，参加组的有_人【解析】参加，三组的总人数是(人)，每组至少人，当，每组 人时，组为人，不符合题意，所以参加组的有(人)4、如下图，一张长厘米，宽厘米，另一个正方形边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米的正方形，求这个组合图形的面积【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和