第四讲 证明（二）（角平分线及线段垂直平分线）知识点：一线段垂直平分线1线段的垂直平分线也叫线段的中垂线。2性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。3逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。二、角平分线角平分线的性质：定理1：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。由以上两个定理可得：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合。三、命题1每一个命题都有逆命题2互逆命题：两个命题的题设与结论正好相反，就说这两个命题是互逆命题。3互逆定理：两个定理的题设与结论正好相反，就说这两个定理互为逆定理。例如：“同位角相等，两直线平行。”与“两直线平行，同位角相等。”4注意：一个命题一定有它的逆命题，但一个定理不一定有它的逆定理。题型练习一、选择题1点D到ABC的两边AB、AC的距离相等，则D点在（ ）ABC边上的中线上； BBC边上的高线上；CBC边的中垂线上； DA的平分线上。2下列命题中正确的是（ ）A中垂线上任意一点到线段两的距离相等；B线段上任意一点到中垂线距离相等；C经过线段中点的直线只有一条；D过线段上一点可以作这条线段的中垂线。3点O在ABC内，OA=OB=OC，则点O为（ ）A两角平分线交点； B两条高的交点；C两条中线的交点； D两边中垂线的交点。4若一个三角形两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形是（ ）A锐角三角形； B钝角三角形；C直角三角形； D不能确定。5在平面上，到A、B、C三点距离相等的点（ ）A只有一个； B只有两个；C三个或三个以上； D一个或没有。6等腰三角形的顶角是100，两腰的中垂线交点为P，则（ ）A点P在三角形内；B点P在三角形外；C点P在底边上；D点P的位置与三角形的边长有关。7如图，直线表示三条相互交叉的公路，现在建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A一处；B二处；C三处；D四处。8如果一个三角形的每一条角平分线恰好是对边上的高，则这个三角形是（ ）A直角三角形；B等腰三角形；C等边三角形；D等腰直角三角形。二、填空题1三角形的三条内角平分线交于一点，此点在数学上被称为三角形的_心。这点到三边的距离_。2如下左图，在ABC中，C=90，BC=16，A的平分线AD交BC于D，且CDBD=35，则D到AB的距离等于_。3如上右图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线交BC于D，DEAB于E，若AB=20，则BDE的周长等于_4如图，ABC中，B和C的平分线交于点O，DEBC且过点O，若AB=6，AC=8，则ADE的周长等于_。5线段垂直平分线所具有的性质是_，因此我们在实际问题中和作图时，要想找到与两个定点距离相等的点，首先考虑的是这点一定在_。6三角形三边的中垂线的交点叫做三角形的_，它到三角形的各_的距离相等。7如下左图，B=57，DC是AB的中垂线，则ABC的外角ACE=_。8如上右图，ABC中，BAC=100，MP、NQ分别是AB、AC边的中垂线，则PAQ=_。9如下左图，ABC中，C=90，AB的垂直平分线交BC于点D，已知CADBAD=12，则B=_。10如上右图，ABC中，A=90，BD是ABC的角平分线，DE是BC的中垂线，则C的度数是_。解答题1、如图在ABC中，D为BC的中点，DEBC交BAC的平分线AE于点E，EFAB于F，EGAC交AC的延长线于G。求证：BF=CG。2等腰RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD。3已知，如图，O是ABC的ABC、ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC = 10 cm，求ODE的周长；4、(2011 青海省) 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所成夹角的探究片段，完成所提出的问题探究：如图1，在中，是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：和分别是和的角平分线，又，图1探究2：如图2中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由图2探究3：如图3中，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：_图3答案：（1）探究2结论：理由如下：和分别是和的角平分线，又是的一个外角，是的一个外角，（2）探究3：结论5、如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知BCE的周长为8cm，ACBC=2，求AB与BC的长。6、如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10 cm，宽为4 cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P： 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直三角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由解：结论：能 设AP=xcm，则PD=(10-x)cm 因为A=D=90，BPC=90， 所以DPC=ABP 所以ABPDPC 则AB/PD=AP/DC，即ABDC=PDAP 所以44=X(10-X)， 即 x2-10x+16=0,解得 x1=2，x2=8 所以AP=2cm或8 cm 结论：能 设AP=Xcm，CQ=y cm 由于ABCD是矩形，HPF=90， 所以BAPECQ， BAPPDQ 所以APCE=ABCO，APPD=ABDQ， 所以2x=4y，即y=x/2， x(10-x)=4(4+y) 消去y，得x2-8x+16=0， 解得x1=x2=4，即AP=4cm7（9分）如图，在中，点从点出发，沿以/秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以/秒的速度向点运动。设运动的时间为秒.（1）当为何值时，；（2）试求使与相似的值；（3）当为何值时，是直角三角形，其中）设经过秒，则（1分） 解得： 当时，（2分） (2)若经过秒，则， 即 解得：（5分）若经过秒，则 解得：（6分） 然而，点在上运动的时间最大是 （秒）（秒） 于是，使与相似的值是（7分）（3）设经过秒时，是直角三角形，其中 作于点，由，得出： 即 解得：（8分）当时，是直角三角形，其中（