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全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com反三角函数的图像六个三角函数值在每个象限的符号:sincsc cossec tancot三角函数的图像和性质: 函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RRxxR且xk+,kZxxR且xk,kZ值域-1,1x=2k+ 时ymax=1x=2k- 时ymin=-1-1,1x=2k时ymax=1x=2k+时ymin=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2周期为2周期为周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2k-,2k+ 上都是增函数;在2k+ ,2k+上都是减函数(kZ)在2k-,2k上都是增函数;在2k,2k+上都是减函数(kZ)在(k-,k+)内都是增函数(kZ)在(k,k+)内都是减函数(kZ).反三角函数: arcsinx arccosx arctanx arccotx名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x-, 的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsinyy=cosx(x0,)的反函数,叫做反余弦函数,记作x=arccosyy=tanx(x(- , )的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctanyy=cotx(x(0,)的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty理解arcsinx表示属于-,且正弦值等于x的角arccosx表示属于0,且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-,),且正切值等于x的角arccotx表示属于(0,)且余切值等于x的角性质定义域-1,1-1,1(-,+)(-,+)值域-,0,(-,)(0,)单调性在-1,1上是增函数在-1,1上是减函数在(-,+)上是增数在(-,+)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=-arccotx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1,1)arcsin(sinx)=x(x-,)cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(cosx)=x(x0,)tan(arctanx)=x(xR)arctan(tanx)=x(x(-,))cot(arccotx)=x(xR)arccot(cotx)=x(x(0,)互余恒等式arcsinx+arccosx=(x-1,1)arctanx+arccotx=(XR)同角三角函数的基本关系 倒数关系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系: sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系: sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()平常针对不同条件的常用的两个公式 sin +cos =1 tan *cot =1一个特殊公式 (sina+sin)*(sina+sin)=sin(a+)*sin(a-) 证明:(sina+sin)*(sina+sin)=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sin(a+)*sin(a-)锐角三角函数公式 正弦: sin =的对边/ 的斜边 余弦:cos =的邻边/的斜边 正切:tan =的对边/的邻边 余切:cot =的邻边/的对边二倍角公式 正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) =2Cos2(a)-1 =1-2Sin2(a) 2.Cos2a=1-2Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan2(A))三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60-sina) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2)2 =4cosa(cosa-cos30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)n倍角公式 sin(n a)=Rsina sin(a+/n)sin(a+(n-1)/n)。 其中R=2(n-1) 证明:当sin(na)=0时,sina=sin(/n)或=sin(2/n)或=sin(3/n)或=或=sin【(n-1)/n】 这说明sin(na)=0与sina-sin(/n)*sina-sin(2/n)*sina-sin(3/n)*sina- sin【(n-1)/n】=0是同解方程。 所以sin(na)与sina-sin(/n)*sina-sin(2/n)*sina-sin(3/n)*sina- sin【(n-1)/n】成正比。 而(sina+sin)*(sina+sin)=sin(a+)*sin(a-),所以 sina-sin(/n)*sina-sin(2/n)*sina-sin(3/n)*sina- sin【(n-1/n】 与sina sin(a+/n)sin(a+(n-1)/n)成正比(系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn)。 然后考虑sin(2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)2=Rn*(R2)n.易证R2=2,所以Rn= 2(n-1)半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式 cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos -cossin积化和差 sinsin = cos(-)-cos(+) /2 coscos = cos(+)+cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2双曲函数 sinh(a) = ea-e(-a)/2 cosh(a) = ea+e(-a)/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2k)= sin cos(2k)= cos tan(2k)= tan cot(2k)= cot 公式二: 设为任意角,+的三角函数值与的三角函数值之间的关系: sin()= -sin cos()= -cos tan()= tan cot()= cot 公式三: 任意角与 -的三角函数值之间的关系: sin(-)= -sin cos(-)= cos tan(-)= -tan cot(-)= -cot 公式四: 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系: sin(-)= sin cos(-)= -cos tan(-)= -tan cot(-)= -cot 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系: sin(2-
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