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新版数学北师大版精品资料A.基础达标1已知点P为抛物线y22px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,以|PF|为半径的圆与准线l()A相交B相切C相离 D位置由F确定解析:选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|,所以相切2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是6,则点P到该抛物线焦点的距离是()A12 B8C6 D4解析:选B.由抛物线定义知:P到焦点的距离等于P到准线的距离,故P到焦点距离6(2)8.3在同一坐标系中,方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致是()解析:选D.a2x2b2y21其标准方程为1,因为ab0,所以0),其准线为x1,得p2.故该抛物线的标准方程为y24x.答案:y24x7已知O为坐标原点,F为抛物线y24x的焦点,A是抛物线上一点, 若4,则点A的坐标是_解析:因为抛物线y24x的焦点为F(1,0),设A的坐标为(,y0),则(,y0),(1,y0),由4得y12y640,即y02,所以点A的坐标为(1,2)或(1,2)答案:(1,2)或(1,2)8设抛物线y22x的准线为l,P为抛物线上的动点,定点A(2,3),则|AP|与点P到准线l的距离之和的最小值为_解析:设该抛物线的焦点为F,连接AF交抛物线于点P0,由抛物线定义可知P到准线l的距离等于|PF|,故|AP|与点P到l距离之和|AP|PF|AP0|P0F|AF|.答案:9已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,3)到焦点F的距离为5,求m的值、抛物线方程及其准线方程解:设所求抛物线方程为x22py(p0),则焦点F的坐标为.因为M(m,3)在抛物线上,且|MF|5,故解得所以所求的抛物线方程为x28y,m2,准线方程为y2.10一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0),则点B的坐标为(,),由点B在抛物线上,所以()22p(),p,所以抛物线方程为x2ay.将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y.所以点E到拱底AB的距离为|y|3.解得a12.21,因为a取整数,所以a的最小整数值为13.B.能力提升1已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|x0,则x0()A4 B2C1 D8解析:选C.如图,F(,0),过A作AA准线l,所以|AF|AA|,所以x0x0x0,所以x01.2在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切,则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.解析:选A.因为AOB90,所以点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离,所以点C在以O为焦点,以直线2xy40为准线的抛物线上,所以当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.又|OD|,所以圆C的最小半径为,所以圆C面积的最小值为()2.3已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过点P作直线l的垂线PM,垂足为M,已知PFM为等边三角形,则PFM的面积为_解析:设l与x轴交于点A,则|AF|p,因为AFM60,所以|MF|2|AF|2p,所以SPFM(2p)2p2.答案:p24设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为_解析:设(0,2)为点A,因为|MF|5,所以M(5,),由题意可得:0,(5,2),(,2),(5)(2)(2)0,得p2或p8,故C的方程为y24x或y216x.答案:y24x或y216x5过抛物线焦点F的直线交该抛物线于P、Q两点,弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点求证:|FR|PQ|.证明:建立直角坐标系,如图所示设R点坐标为(x,0),P点坐标为(x1,y1),Q点坐标为(x2,y2),所以|FR|x.由题设,知|RP|RQ|,即(xx1)2y(xx2)2y,因为y2px2,y2px1,代入方程,得(xx1)2(xx2)22p(x2x1)因为x1x2,所以xp.所以|FR|,|PQ|PF|FQ|(x1)(x2)(x1x2)p,所以|FR|PQ|.6(选做题)已知点A(3,2),点M到F的距离比它到y轴的距离大.(1)求点M的轨迹方程;(2)是否存在M,使|MA|MF|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由于动点M到F的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F的距离与它到直线l:x的距离相等,由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y22px(p0)的形式,而,所以p1,2p2,故轨迹方程为y22x.(2)存在M.理由如下:由题意得A(3,2)在抛物线内部,如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|MF|MA|MN|,所以当A、M、N三点共线时,|MA|MN|取最小值,亦即|MA|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x02,即M(2,2)
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