1.4 角平分线的性质第2课时 1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：OC平分AOB，且PDOA，PEOB.PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.角平分线的性质定理的逆定理一PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.OC平分平分AOB，且且PDOA，PEOB PD=PE几何语言：几何语言：猜想猜想:思考：这个命题正确吗？已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的平分线上.证明：作射线OP，点P在AOB 的平分线上.在RtPDO和RtPEO 中，（全等三角形的对应角相等）.OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPEPDOA,PEOB.PDO=PEO=90，RtPDORtPEO（HL）.AOP=BOP证明猜想温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.u角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.u应用格式：PDOA,PEOB，PD=PE.点点P 在AOB的平分线上.知识总结典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.典例精析例2 已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.A B C P N M D E F A B C P N M 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在A的平分线上.这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN2.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线二发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证一证证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F A B C P N M 想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？点P在A的平分线上.结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F A B C P N M MENABCPOD变式1：如图，在ABC中，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.温馨提示：温馨提示：不存在垂线段不存在垂线段构造应用构造应用12解：连接OC，过O作ONBC，OEAB，垂足分别为N，E.MENABCPOD变式1：如图，在ABC中，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,OM4.(2)若ABC的周长为32，求ABC的面积.2.联系角平分线性质：距离距离面积面积周长周长知识与方法知识与方法1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题条件条件例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为()A110 B120 C130 D140A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条内角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBOABO ABC，BCOACO ACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数方法总结归纳总结角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN2.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 3.已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN.证明：OD平分POQ，AOD=BOD.在AOD与BOD中，OA=OB，AOD=BOD，OD=OD，AODBOD.ADO=BDO.CMAD，CNBD，CM=CN.4.如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.P1P2P3P4l1l2l31、已知：如图，C=C=90，AC=AC 求证（1）ABC=ABC ；（2）BC=BC （要求不用三角形全等的判定）BCAC我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三条角平分线相交于一点，你能证明这形的三条角平分线相交于一点，你能证明这个结论吗？个结论吗？2 2、如图，设、如图，设ABCABC的角平的角平分线分线BMBM，CNCN相交于点相交于点P P，你能证明点你能证明点P P在在BACBAC的平的平分线上吗？分线上吗？CABDFEPNM证明:过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D，BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理，PE=PF，PD=PF点P在BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。ABC三条角平分线相交于点P。3.3.已知：如图，已知：如图，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F。求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上。的平分线上。CD A B F E 你会吗？OQP4.如图，直线l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A 1处B 2处C 3处D 4处l3l1l2 5、已知，如图，B=C=，M是BC的中点，DM平分ADC。求证：AM平分DAB。AMDCB证明：过M作MEAD于EE B=C=MCDC，MBAB又 DM平分ADCME=MCMC=MB ME=MBAM平分DAB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（角平分线上的 点 到角两边的距离相等）6.已知：如图，O是三条角平分线的交点，ODBC于D，OD=3，ABC的周长为15，求则SABC。ABCOMNGD7、如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD交于G。求证：（1）DE=DFBFEDCAG（2）AE=AF（3）ADEF8、三角形三条_的交点，到三边距离相等。9、三角形三条_的交点，到三个顶点的距离相等。1010、如图，、如图，P P是是ABCABC的的A A和和B B的平的平分线的交点，过分线的交点，过P P做做ABAB、ACAC、BCBC的垂的垂线垂足分别是线垂足分别是MM、N N、H H，则：，则：（1 1）PHPH与与PNPN的数量关系是的数量关系是_（2 2）CP_ CP_ ACB(ACB(填平分或不填平分或不平分）平分）1111、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点E,BD,CEE,BD,CE交交点点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证:点点F F在在AA的平分线上的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA12.12.如图如图在在ABCABC中，中，CABCAB的平分线的平分线ADAD与与BCBC的的垂直平分线垂直平分线DEDE交于点交于点D D，DMABDMAB于于M M，DNACDNAC的延长线于的延长线于N N 求证：求证：BM=CNBM=CN小结：3、三角形角平分线的交点性质：2、角的平分线的判定：三角形的三条角平分线交于一点。4、角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。1、角的平分线的性质：5、三角形的五心：垂心、重心、外心、内心、旁心角平分线的判定定理内 容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作 用判断一个点是否在角的平分线上结 论三角形的内角平分线相交于内部一点