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椭圆练习题一、选择题1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值为()A.5 B.3 C.5或3 D.82.设椭圆的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能3在椭圆上取三点,其横坐标满足,三点与某一焦点的连线段长分别为,则满足( )A成等差数列 B C成等比数列 D以上结论全不对4椭圆的离心率满足方程,则的所有可能值的积为( )A3 B C16 D-165已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是 ( ) A (1, +) B C D 6. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点,若,则椭圆的离心率为 ( ) A B. C. D. 7.过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )A B C D. 8.椭圆上离顶点A(0,)最远点为(0,成立的充要条件为( )A B C D.9. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 ( ) A B C D 10、已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(A)(B)(C)(D)二、填空题11若椭圆1的离心率为,则实数m .12已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是 .13、F1,F2是y21的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则的最大值是14、在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则.15.中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程是 。16.已知F1、F2是椭圆C: =1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若PF1F2的面积为9,则b= .17椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,F1PF2的大小为 .18设椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最短距离为,则该椭圆的方程为 . 19M是椭圆不在坐标轴上的点,是它的两个焦点,是的内心,的延长线交于,则 . 20.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 .三、解答题21.已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线. 求椭圆的方程; 设点P在椭圆上,且,求cos.简解: . 设则 又 , 22.设椭圆=1(ab0)的左焦点F1(-2,0),左准线l1与x轴交于点N(-3,0),过N点且倾斜角为30的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求直线l和椭圆方程;(2)求的值;(3)在直线l上有两个不重合的动点C、D,以CD为直径且过F1的所有圆中,求面积最小的圆的半径.解:(1)由已知,椭圆中c=2, =3,a2=6,b2=a2-c2=6-4=2,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),=-9+2+7=0.(3)易知:当圆的半径等于F1到直线l的距离时,圆的面积最小.即面积最小时,23.如图,直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A、B两点,记AOB的面积为S.(1)求在k=0,0b1的条件下,S的最大值;(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.解析:24、已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值.解:()设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为()设,(1)当轴时,(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为由已知,得把代入椭圆方程,整理得,当且仅当,即时等号成立当时,综上所述当最大时,面积取最大值25、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为()求椭圆的标准方程;()若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标解:(I)由题意设椭圆的标准方程为, (II)设,由得,.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,解得,且满足.当时,直线过定点与已知矛盾;当时,直线过定点综上可知,直线过定点,定点坐标为课外作业:1.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR)(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。2已知椭圆(ab0)的离心率,原点O到过点和的直线的距离为 ()求椭圆的方程; ()已知定点E,若直线ykx2与椭圆交于C 、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过点E?请说明理由3.设椭圆的左焦点为,离心率为, 过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆的方程; (2)设分别为椭圆的左右顶点, 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,若 , 求的值. 1.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR)(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。19(1)原曲线方程可化简得:由题意可得:,解得:(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,解得:由韦达定理得:,设,方程为:,则,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将代入易知等式成立,则三点共线得证。22( 12分)已知椭圆(ab0)的离心率,原点O到过点和的直线的距离为 ()求椭圆的方程; ()已知定点E,若直线ykx2与椭圆交于C 、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过点E?请说明理由 解:()直线AB方程为:bx-ay-ab0 1分依题意解得 3分椭圆方程为 4分()假若存在这样的k值,由得 设, ,则6分而 要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CEDE,即时, 8分则即 将式代入整理解得 11分经验证,使成立。 综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E 。 12分24.设椭圆的左焦点为,离心率为, 过点且与轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆的方程; (2)设分别为椭圆的左右顶点, 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,若 , 求的值. 、解:(1)由题可知: 所以椭圆的方程为: (2)由题可知:直线的方程为的坐标分别为 由消得: 设,则 8
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