1 1第十四章推理与证明考纲展示命题探究1合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，二者区别如下：归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体，由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)2演绎推理演绎推理是指从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论它是由一般到特殊的推理，“三段论”是它的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断注意点合情推理与演绎推理的结论的正确性(1)合情推理得出的结论具有猜测性，不一定正确，但是，在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理能帮助猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理能提供证明的思路和方向(2)在演绎推理中，若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的.1思维辨析(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案(1)(2)(3)(4)2因为对数函数ylogax(a0，且a1)是增函数，而ylogx是对数函数，所以ylogx是增函数，上面的推理错误的是()A大前提 B小前提C推理形式 D以上都是答案A解析ylogax是增函数，这个大前提是错误的，从而导致结论错误选A.3设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x).考法综述合情推理与演绎推理主要考向：考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合选择题与填空题难度不大命题法1合情推理典例1(1)若数列an是等差数列，则数列bnbn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdn Ddn(2)有下列各式：11,1，12，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_.解析(1)解法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn.解法二：若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选D.(2)已知各式可化为如下形式：1，1，1，由归纳推理得1.答案(1)D(2)1(nN*)【解题法】1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳2类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移命题法2演绎推理典例2设f(x)3ax22bxc.若abc0，f(0)0，f(1)0，求证：(1)a0且20，f(1)0，c0,3a2bc0.由abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，21.(2)证法一：抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为，21，0，f(1)0，而f0，f(1)0，而fabca0，方程f(x)0有两个实根设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x20，x1x20，故两根为正又(x11)(x21)20，故两根均小于1，命题得证【解题法】演绎推理的应用方法(1)在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的(2)用三段论证明的基本模式是：大前提已知的一般原理小前提所研究的特殊情况结论根据一般原理对特殊情况做出的判断1对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A1是f(x)的零点B1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2,8)在曲线yf(x)上答案A解析由A知abc0；由B知f(x)2axb,2ab0；由C知f(x)2axb，令f(x)0可得x，则f3，则3；由D知4a2bc8.假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.2学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 ()A2人 B3人 C4人 D5人答案B解析用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人3.观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN*时，CCCC_.答案4n1解析第一个等式，n1，而右边式子为40411；第二个等式，n2，而右边式子为41421；第三个等式，n3，而右边式子为42431；第四个等式，n4，而右边式子为43441；归纳可知，第n个等式的右边为4n1.4一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_答案5解析因为x4x5x6x711010010110，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2x3x6x71001101110，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1x3x5x710111110110，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k5.5.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_答案A解析根据甲、乙、丙说的可列表得ABC甲乙丙6.观察分析下表中数据多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_答案FVE2解析由表可知，三棱柱：5692；五棱锥：66102；立方体：68122.由上面的结论可判定：凸多面体中面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)的关系为FVE2.7对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，记T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk1(P)，a1a2ak(2kn)，其中max