第五章 振动和波 声学 人类生活在运动的世界里，机械运动是最常见的运动。在机械运动中，除了平动和转动之外，振动也是一种常见的运动。琴弦的振动，让人们欣赏到优美的音乐；地震则可能给人类带来巨大的灾难。震动现象比比皆是。我们将从最简单的情况出发，学习怎样描述振动，振动有什么性质。第一节 简谐运动振动现象在自然界中广泛存在。钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、担物行走时扁担下物体的颤动、树梢在微风中的摇摆 都是振动，一切发声的物体都在振动，地震是大地的剧烈振动，振动与我们的生活密切相关。 图5-1弹簧振子 如图5-1所示，把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定， 图5-2小球穿在光滑的杆上，能够自由滑动，两者之间的摩擦可以忽略，弹簧的质量与小球相比也可以忽略。把小球拉向右方，然后放开，它就左右运动起来。小球原来静止时的位置叫做平衡位置, 小球在平衡位置附近的往复运动，是另一种机械振动，简称振动。这样的系统称为弹簧振子.振子在振动过程中，所受的重力和支持力平衡，对振子的运动没有影响，使振子发生振动的只有弹簧的弹力弹力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向总是相反的，并且总是指向平衡位置，它的作用是力图使振子返回平衡位置，所以把这个力叫做回复力根据胡克定律，在弹簧发生弹性形变时，小球受到的回复力F 跟振子对平衡位置的位移x成正比，即F =-kx 式中的k 是比例常数，对弹簧振子来说，就是弹簧的劲度；负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反像弹簧振子那样，物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动 描述简谐运动的物理量 我们以弹簧振子为例来研究描述简谐运动的物理量。 振幅 如图5-2 ，振子在水平杆上的A点和B点之间往复振动，O为它的平衡位置。图中OA=OB，它们是振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小。周期和频率 简谐运动是一种周期性运动。图5-2 中，如果从振子向右通过O点的时刻开始计时，它将运动到A ，然后向左回到O，又继续向左运动到达B，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。不管以哪里作为开始研究的起点，例如从图中的O开始运动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。用T 表示周期，用f 表示频率，则有f =在国际单位制中，周期的单位是秒。频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz 。1 Hz = 1s-1。观察弹簧振子的运动可以发现，开始时拉伸（或压缩）弹簧的程度不同，振动的振幅也就不同，但是对同一个振子，振动的频率（或周期）却是一定的，与振幅无关简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定，如弹簧振子的频率由弹簧的劲度与振子的质量所决定，与振幅的大小无关，因此又称为振动系统的固有频率 问题和练习：1、有的同学说，“振动物体完成一次全振动就是从最左端运动到平衡位置的最右端”这种说法对吗？为什么？2、关于简谐运动，下列说法中正确的是：A 回复力总指向平衡位置；B 回复力的大小是不变的；C 回复力的方向是不变的；D 回复力的方向总与速度的方向一致；E 回复力的大小与振动物体离开平衡位置的位移成正比，回复力的方向与位移方向相反 3、图5-2 中弹簧振子的振幅是2cm ，小球在一次全振动中通过的路程是多少？如果频率是5 Hz ，小球每秒通过的路程是多少？ 4、某一弹簧振子完成10 次全振动需要2 s的时间，在此时间内通过的路程是80cm 求此弹簧振子的振幅、周期和频率第二节 单摆单摆 生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，摆动属于一种什么运动呢？我们用细线悬挂着的小球来研究摆动的规律。图5-3在图5 -3 中，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，那么这样的装置就叫做单摆拉开摆球，使它偏离平衡位置，然后放开，摆球就在重力G 和线的拉力F的共同作用下，沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动理论上可以证明，在偏角很小的情况下，单摆所受回复力的方向与摆球的位移方向相反，回复力的大小与摆球的位移成正比，所以，单摆做简谐运动如果单摆的振幅比较大，它的运动规律就和简谐运动差得比较多了 单摆的回复力 我们在一般条件下研究单摆是不是做简谐运动，最简单的方法是看它的回复力是否满足F=-kx的条件。 图5-4摆球静止在O 点时，悬线竖直下垂，摆球受到的重力G 与悬线的拉力F平衡。小球受的合力为零，可以保持静止，所以O 点是单摆的平衡位置。拉开摆球，使它偏离平衡位置，放手后摆球所受的重力G 与拉力F不再平衡。在这两个力的合力的作用下，摆球沿着以平衡位置O 为中心的一段圆弧AA做往复运动，这就是单摆的振动。 因为摆球沿圆弧运动，因此可以不考虑沿悬线方向的力，只考虑沿圆弧方向的力。当摆球运动到某点P时（图5-4) ，摆球在圆弧方向上受到的只是重力在这个方向的分力F=mgsin，这就是它的回复力。在偏角很小时，摆球对于O 点的位移x 的大小，与角所对的弧长、 角所对的弦都近似相等，因而sin，所以单摆的回复力为 F=-x其中l为摆长，x 为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反。由于m、g、l 都有确定的数值，可以用一个常数k 表示，于是上式写成F=-kx可见，在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。单摆的周期 不同的单摆，摆动的周期不同那么，单摆的周期跟哪些因素有关呢？跟摆球的质量有关吗？跟摆长、振幅呢？下面我们用实验来研究这个问题 取一个长约lm 的单摆，在偏角很小（如10左右）的清况下，测出它振动一定次数（如50 次）所用的时间，算出单摆的周期在偏角更小的情况下，同样测出单摆的周期然后取摆球相同，摆长不同的单摆，分别测出它们的周期最后取摆长相同，摆球的大小相同但是质量不同的单摆，再测它的周期，通过实验我们发现，单摆的周期跟摆球的质量没有关系，在振幅不很大的时候，跟它的振幅也没有关系；但是单摆的周期跟摆长有关，摆长越长，周期越大荷兰物理学家惠更斯（1629 一1695 ）研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T 跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式为： =2惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，就是我们今天摆钟的前身，由于摆的周期可以通过改变摆长来调节，所以用起来很方便由于实验中可以准确地测出单摆的周期和摆长，所以利用单摆能够测定各地的重力加速度。 问题和练习： 1、一个理想的单摆，已知其周期为T 。如果由于某种原因（如转移到其他星球）自由落体加速度变为原来的1/2,振幅变为原来的1/3,摆长变为原来的1/4，摆球质量变为原来的1/5，它的周期变为多少？2、周期是2s 的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6m/s2 ，它在月球上做50 次全振动要用多少时间？3、单摆的摆长为30cm ，重力加速度g = 9.81 m/s2，求单摆的周期.4、一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情况他发现，在发射到月球上的仪器舱旁边悬挂着一个重物，在那里摆动悬挂重物的绳长跟宇航员的身高相仿这位物理学家看了看自己的手表，测了一下时间，于是他估测出月球表面上的自由落体加速度他是怎样估测的？第三节 外力作用下的振动 共振简谐运动的能量 弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断地发生转化。在平衡位置时，动能最大，势能最小；在位移最大时，势能最大，动能为零。在任意时刻动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能。弹簧振子和单摆是在弹力和重力的作用下发生振动的，如果不考虑摩擦和空气阻力，只有弹力和重力做功，那么，振动系统跟振幅有关，振幅越大，机械能就的机械能守恒。振动系统的机械能就越大。对简谐运动来说，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，那么由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去。简谐运动是一种理想化的振动。做简谐运动的物体受到的回复力，是振动系统内部的相互作用力。如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫做固有振动，其振动频率称为固有频率。想一想： 如果振动系统受到外力作用，它将如何运动？ 图5-5阻尼振动 振动系统最常见的外力是摩擦力或其他阻力。当系统受到阻力的作用时，我们就说振动受到了阻尼。系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。图5-5是阻尼振动的图象。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快。阻尼过大时，系统不能发生振动。阻尼越小，振幅减小得越慢，当阻尼很小时，在不太长的时间内看不出振幅有明显的减小，于是可以把它当做简谐运动来处理。前面关于简谐运动的演示就属于这种情形。受迫振动 阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能产生持续的振动呢？最简单的办法是使周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统的振动维持下去。这种周期性的外力叫做驱动力，系统在驱动力作用下的振动叫做受迫振动。机器运转时底座发生的振动、扬声器纸盆的振动，都是受迫振动。共振 通过以上研究我们知道，不管系统的固有频率如何，它做受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。但是，在一定驱动力作用下的受迫振动，其振幅是否也跟它的固有频率无关呢？ 图5-6虽然物体做受迫振动的频率跟物体的固有频率无关，但是驱动力的频率是否与固有频率接近，也会显著影响物体的振动实验 我们用图5-6所示的装置来研究这个问题在一根张紧的绳子上挂几个摆，其中A 、B 的摆长相等当A 振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使它们做受迫振动驱动力的频率等于A 摆的频率各摆的固有频率决定于各自的摆长实验表明，固有频率跟驱动力频率相等的B 摆振幅最大，固有频率跟驱动力频率相差很大的c摆和D，振幅很小。驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振问题和练习：1、如图5-7所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T 形支架在竖直方向振动，T 形支架的