第一章 有理数本 章 概 览状 元 寄 语在生活、生产和科研中，经常遇到数的表示和运算等问题。例如：（1） 北京冬季里某一天的气温为-33。“-3”的含义是什么？这一天北京的温差是多少？（2） 某年，我国花生产量比上一年增长1.8，油菜籽产量比上一年增长-2.7。“增长-2.7”表示什么意思？ 上面的例子涉及“3-（-3）？”等新问题。本章我们将在小学认识负数的基础上，把数的范围扩充到有理数，并在这个范围内研究数的表示、大小比较和运算等。有了这些知识，上述问题就能顺利解决了。本章要学习的主要内容有：正数和负数的概念，数轴、相反数、绝对值的概念，有理数的加、减、乘、除运算，有理数的乘方、科学计数法、近似数等，这些都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此学习时应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。本章学习的重点是：有理数的运算。 本章学习的难点是：应用分式方程解决实际问题。学 法 指 要1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。2、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。3、结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。4、结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。11 正数和负数情境目标导引【情景导入】 【基本目标】1、了解正数和负数是怎样产生的。2、知道什么是正数、0、负数。3、会判断一个数是正数还是负数。4、会用正数、负数表示实际生活中具有相反意义的量。【重点难点】1、正确理解负数的概念。2、会判断一个数是正数还是负数。3、数0表示的量的意义。基础知识详解知识点一 正数和负数的概念内 容叙 述像3,2,1.8这样大于0的数叫做正数。像-3，-2，-2.7这样在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。数“0”既不是正数，也不是负数。知识详 解小学学过的除0以外的数都是正数；例如：,8,15,0.6，；根据需要，有时在正数前面也加上“+”（正）号。例如：+2，+3，+0.5，+0.5，+，。正数前面的正号“+”，一般省略不写。小学学过的除0以外的前面加上负号“-”的数叫做负数，例如：-2，-9，-0.7，-，-80，。负数前面的负号“-”不能省略。一个数前面的“+”“-”叫做它们的符号，“+”读作“正”，例如：“+0.56”读作“正零点五六”；“-”读作“负”，例如：“-2012”读作“负二千零十二”。理解技 巧判断一个数是正数还是负数，关键是看这个数比0大还是比0小，比0大的数是正数，比0小的数是负数特别提 醒0既不是正数，也不是负数。 例1下例各数中，哪些是正数？哪些是负数？-8,10，-，-12.2，-0.625,3.886,29,0，+75，-0.00001，-900,5 分析：判断一个数是正数就看是不是小学学过的除0以外的数。判断一个数是不是负数，既要看前面有没有负号，还要看负号后面的数是不是正数。还可以根据正数、负数的书写形式进行判断。同时，注意0既不是正数也不是负数。解： 正数有：10,3.886,29，+75，5负数有：-8，-，-12.2，-0.625,-0.00001，-900点拔：应首先明确正数、负数的概念，根据概念进行分类，一般情况下，正数前面的“+”号可以省略不写。另外，0既不是正数也不是负数。变式练习1. 把下列各数填入相应的横线上。 +9，-1，+3，0，-15，1.7非正数：非负数：知识点二 具有相反意义的量内 容叙 述把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量。知识详 解常见的表示相反意义的量有：收入和支出、零下和零上、前进和后退、盈利和亏损、向东和向西、海平面以上和海平面以下、上升和下降。于小学学过的正数相比，负数可以表示具有相反意义的量，比如：零下6可以表示为-6，而零上8可以表示为+8；收入2000元可以表示为+2000元，支出2000元则可以表示为-2000元等。若正数表示某种意义的量，则负数表示与其相反意义的量，反之亦然。理解技 巧判断一对量是不是具有相反意义，关键要找出具有相反意义的只要词语。特别提 醒相反意义的量是针对两个量而言的，且这两个量在某一种意义上是相反的。 例2下列具有相反意义的量是（）A. 前进与后退 B. 胜3局与负2局 C. 气温升高3与气温为-3 D. 盈利3万元与支出2万元解析：在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示。A、前进与后退，具有相反意义，但没有量故错误；B、正确；C、升高与降低是具有相反意义，气温为-3只表示某一时刻的温度，故错误；D、盈利与亏损是具有相反意义与支出2万元不具有相反意义，故错误 答案：B点拔：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量。变式练习1.李华把向北移动记作“+”，向南移动记作“-”，下列说法正确的是（ ） A. -5米表示向北移动了5米 B. +5米表示向南移动了5米 C. 向北移动-5米表示向南移动5米 D. 向南移动5米，也可记作向南移动-5米 2.小明设计了一个游戏规则：先向南走5米，再向南走10米，最后向北走5米，则结果是（ ） A. 向南走10米 B. 向北走5米 C. 回到原地 D. 向北走10米知识点三 对0的认识内 容叙 述像3,2,1.8这样大于0的数叫做正数。像-3，-2，-2.7这样在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。数“0”既不是正数，也不是负数。知识详 解0表示“没有”，如桌上有0本书，就是说桌上没有书。0是正数与负数的分界，数0既不是正数，也不是负数。如水位上升5m时水位变化记作+5m，则水位下降3m时水位变化记作-3m。0m表示水位不升不降时的水位变化。理解技 巧0除了表示“没有”之外，还表示特定的意义。特别提 醒0是正数与负数的分界，不仅仅表示没有，也表示特定的意义。例3 下列说法错误的是( ) A、0是自然数 B、0是整数 C、0是偶数 D、海拔是0表示没有海拔 解析：A、B、C都是正确的,D中海拔是0表示高度为海平面的高度。 故选D.答案：D.点拔：0既不是正数，也不是负数。0除了表示“一个也没有”之外，还表示特定的意义。思维误区诊断误区一：对“0”的认识例1 下列对于“0”的说法正确的有（ ）0是正数与负数的分界；0表示没有温度；不存在既不是正数也不是负数的数；0是自然数；0是正数。A、3个 B、4个 C、5个 D、2个错解C正解A错因分析 思路分析 应牢记：0既不是正数，也不是负数。存在既不是正数也不是负数的数，它就是0.误区二：以为“0”只表示没有例2 误区三：对正数、负数的概念理解不清例3 -a表示的数一定是（ ）A、 负数 B、正数 C、0 D、以上结论都不对错解A正解D错因分析：只看这个数前面的负号，误认为-a是负数思路分析：区分正、负数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号，如果a是小于0的数，那么-a就是正数如果a大于0，那么-a就是负数如果a是0，那么-a也是0所以以上结论都不对故选D综合题型展示题型一：识别正数和负数例1 下列各数哪些是正数，哪些是负数？3，-，0,0.23，-4，-32.8，-30，+5，-605 分析：解：正数有：3,0.23，+5， 负数有：-，-4，-32.8，-30，-605点拔：依据正数和负数的定义进行识别。题型二：正数和负数表示相反意义的量 例2（1）向东走70米记作-70米，那么+100米表示 ；（2）公元前2012年记作-2012年，那么+2012年表示；（3）小明的爸爸在某次商品交易中盈利-1000元，实际表示（4）七（1）班王磊同学九月份的生活费剩余15元，记作+15元，那么十月份的生活费剩余-10元表示分析：首先要找准表示相反意义的关键词，如“东”与“西”，“公元前”与“公元后”，“盈利”与“亏损”，“剩余”与“超支”；然后再确定哪个量是正数（或负数），则它相反意义的量就表示负数（或正数）。解：向西走100米公元2012年亏损1000元超支10元点拔：具有相反意义的量用正数和负数表示时，它们是相对的，而不是绝对的，如果已知其中一个量用“+”表示，那么它相反的另一个量就用“-”表示。题型三：非负数例3 分析：解答：特别提醒：中考信息传真中考命题解读正数和负数在中考试题中占的比例较小，难度也很低，多以填空题、选择题的形式出现。主要考查是否会用正、负数表示相反意义的量。中考典型剖析例1（）分析：解答：特别提醒：例2 （广西玉林市）既不是正数也不是负数的数是 .分析：解答：特别提醒：例3 分析：解答：特别提醒：变式练习1： 变式练习2：（2010兰州）变式练习3：（2011四川南充） 状元提升训练基础过关题 1下列说法正确的是（ ）A、正数都带有“+”号 B、不带“+”号的数都为负数C、除了正数就是负数 D、零不是正数2.-，+，-3.2，0，4.5，-1中，负数有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2.如果汽车向东行驶30米，记作+30米，那么50米表示 ( )A 向东行驶50米 B 向西行驶50米C 向南行驶50米 D 向北行驶50米3、在一条东西向的跑道上，小方先向东走了8米，记作“+8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作多少米（）A、+2 B、-2 C、+18 D、-18 4、下列是正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）A. 一天凌晨的气温是5，中午比凌晨上升10，所以中午的气温是+10B. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么6米表示比海平面低6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么8表示支出减少8元5、 一种面粉的质量标识为“250.25千克”，则下列面粉中合格的是（）A、24.70千克 B、25.30千克 C、24.80千克 D、25.51千克如果把+210元表示收入210元，那么-60元表示_【解】支出60元2粮食