第十章 计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()ABCDA72种 B48种C24种 D12种解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有43224种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法故不同的涂法共有2424272种答案 A 2如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400种 B460种C480种 D496种解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，不同涂法有654(13)480(种)，故选C.答案C3某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()A72 B108 C180 D216解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法， 故共有CCA种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法；综合(1)(2)，共有CCACA180种参加方法答案C4有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A8种 B9种C10种 D11种解析 分四步完成，共有33119种答案 B5从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种 B240种 C144种 D96种解析甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有CACA240.答案B64位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有()A12种 B24种 C30种 D36种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲共有C种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法故共有C2224(种)答案B二、填空题7将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案2408数字1,2,3，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有_种解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22312种填法答案129如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个解析当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理得共有“好数”CCC12个答案1210给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)答案 21；43三、解答题11如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成mnk个三角形(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CCCCCC个平行四边形12设集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐标平面上的点，a，bM.(1)P可以表示多少个平面上的不同的点？(2)P可以表示多少个第二象限内的点？(3)P可以表示多少个不在直线yx上的点？解(1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N6636(个)(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N326个(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N6530个13现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法； 星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有544441 280种不同的排法14已知集合Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f是从A到B的映射(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)4，这样的f又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有432124(个)(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法所以不同的f共有3481(个)(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有CC12种方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有CC6种方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有CC12种方法所以不同的f共有11261231(个)