第 十 八 章 平 行 四 边 形特殊的平行四边形18.2人教版八年级下18.2.3正方形第1课时正方形及其性质正方形的两条对角线互相垂直、平分且相等；每条对角正方形的两条对角线互相垂直、平分且相等；每条对角线都平分一组对角；两条对角线将正方形分成四个全等的等线都平分一组对角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形；腰直角三角形；每条对角线所在的直线每条对角线所在的直线是正方形的对称轴是正方形的对称轴.知识点知识点1正方形及其边角性质正方形及其边角性质1.(母题：教材母题：教材P58图图18.211)ABCD的对角线的对角线AC与与BD相交相交于点于点O，且，且ACBD，请添加一个条件：，请添加一个条件：ACBD(答案答案不唯一不唯一)，使得，使得 ABCD为正方形为正方形.【点拨】根据题意可知根据题意可知 ABCD为菱形，要使菱形为菱形，要使菱形ABCD为正为正方形，添加的条件为方形，添加的条件为ABAD，ACBD等等.ACBD(答案答案不唯一不唯一)2.2023河北河北如图，在如图，在RtABC中，中，AB4，点，点M是斜边是斜边BC的中点，以的中点，以AM为边作正方形为边作正方形AMEF.若若S正方形正方形AMEF16，则，则SABC(B)C.12D.16(第第2题题)B【点拨】S正方形正方形AMEF16，AM4.在在RtABC中，点中，点M是斜边是斜边BC的中点，的中点，在在RtABC中，中，AB4，3.2023重庆重庆新考法新考法旋转法旋转法如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E，F分别在分别在BC，CD上，连接上，连接AE，AF，EF，EAF45，若若BAE，则，则FEC一定等于一定等于(A)A.2B.902C.45D.90(第第3题题)A【点拨】在正方形在正方形ABCD中，中，ADAB，BADABCADC90，可将可将ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到ABG，此时，此时G在在CB的延长线上，如图所示的延长线上，如图所示.则则AFAG，DAFBAG.EAF45，BAEDAF45.BAEBAG45，即，即GAE45.GAEFAE.FAEGAE(SAS)，AEFAEG.BAE，AEB90，AEF90.FEC180AEFAEB180(90)(90)2.知识点知识点2正方形对角线的性质正方形对角线的性质4.2023常德常德如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交相交于点于点O，E，F分别为分别为AO，DO上的一点，且上的一点，且EFAD，连，连接接AF，DE.若若FAC15，则，则AED的度数为的度数为(C)A.80B.90C.105D.115C【点拨】四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，OAOD，OADODA45.EFAD，OEFOAD45，OFEODA45，OEFOFE45，AEFDFE135，OEOF.OAOD，AEDF，又又EFEF，AEFDFE(SAS)，CAFFDE15，ADEODAFDE451530，AED180OADADE1804530105.5.2022重庆重庆如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交相交于点于点O.E，F分别为分别为AC，BD上一点，且上一点，且OEOF，连接，连接AF，BE，EF.若若AFE25，则，则CBE的度数为的度数为(C)A.50B.55C.65D.70(第第5题题)C【点拨】由正方形的性质可得由正方形的性质可得ACBD，OAOBOC，易得，易得OCB45，AFO70，利用全等三角形的判定和性，利用全等三角形的判定和性质得质得BEOAFO70.从而可求出从而可求出CBE的度数的度数.知识点知识点3正方形的对称变换正方形的对称变换【点拨】设设B1C1与与CD交于点交于点E，连接，连接AE.利用利用作差法作差法求出求出AE一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解.7.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为1，点，点E，F分别是对角线分别是对角线AC上的两点，上的两点，EGAB，EIAD，FHAB，FJAD，垂，垂足分别为足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于，则图中阴影部分的面积等于(B)A.1(第第7题题)B易错点易错点不能运用正方形的轴对称性将两条线段的和转化为一不能运用正方形的轴对称性将两条线段的和转化为一条线段而致错条线段而致错(第第8题题)【点拨】利用正方形的边角性质求线段长利用正方形的边角性质求线段长9.2022随州随州如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，点中，点E，F分别在分别在边边AB，CD上，且四边形上，且四边形BEDF为正方形为正方形.(1)求证：求证：AECF；【证明】【证明】四边形四边形BEDF为正方形，为正方形，EBDF.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABDC.AECF.(2)若平行四边形若平行四边形ABCD的面积为的面积为20，AB5，求，求CF的长的长.【解】【解】四边形四边形BEDF为正方形，为正方形，DEEB，DEAB.平行四边形平行四边形ABCD的面积为的面积为20，AB5，DEEB4.AEABEB541.由由(1)知知AECF，CF1.利用正方形的边角性质探求线段关系利用正方形的边角性质探求线段关系10.2023绍兴绍兴如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，G是对角线是对角线BD上的上的一点一点(与点与点B，D不重合不重合)，GECD，GFBC，E，F分别分别为垂足，连接为垂足，连接EF，AG，并延长，并延长AG交交EF于点于点H.(1)求证：求证：DAGEGH；【证明】在正方形【证明】在正方形ABCD中，中，ADCD，GECD，ADEGEC90，ADGE，DAGEGH.(2)判断判断AH与与EF是否垂直，并说明理由是否垂直，并说明理由.【解】【解】AHEF，理由如下：，理由如下：连接连接GC交交EF于点于点O，如图，如图.在正方形在正方形ABCD中，中，ADCD，BD为正方形为正方形ABCD的对角线，的对角线，ADGCDG45.又又DGDG，ADGCDG(SAS)，DAGDCG.利用正方形的性质进行相关计算利用正方形的性质进行相关计算(1)ADE的面积为的面积为3；3【点拨】(1)如图，过点如图，过点E作作EMAD于点于点M.(2)如图，延长如图，延长EM交交AG于点于点N，交，交BC于点于点P.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ADCABC90，BCAD，ABCD，EPBC.又又EPAD，四边形四边形ABPM是矩形，是矩形，PMAB3，ABEP，EP5，ABFNEF，EPCD.F为为BE的中点，的中点，BFEF，又又AFBNFE，ABFNEF(ASA)，ENAB3，MN1.由由PMCD，AMDM，易知，易知ANNG，MN为为AGD的中位线，的中位线，GD2MN2，利用正方形的性质探究线段的位置关系利用正方形的性质探究线段的位置关系12.新考法新考法旋转对称法旋转对称法如图如图，四边形，四边形ABCD是正方形，是正方形，G是是CD边上的一个动点边上的一个动点(点点G与点与点C，D不重合不重合)，以，以CG为一为一边在正方形边在正方形ABCD外作正方形外作正方形CEFG，连接，连接BG，DE.(1)猜想图猜想图中线段中线段BG、线段、线段DE的数量关系及的数量关系及所在直线的位置关系，并说明理由；所在直线的位置关系，并说明理由；【解】【解】BGDE，BGDE.理由如下：理由如下：如图如图，延长，延长BG交交DE于点于点H.四边形四边形ABCD和四边形和四边形CEFG都是正方形，都是正方形，BCDC，BCGDCE90，CGCE.BCGDCE.BGDE，12.1CGB90，CGBDGH，2DGH90.DHG90.BHDE，即，即BGDE.(2)将图将图中的正方形中的正方形CEFG绕着点绕着点C按顺时针按顺时针(或逆时针或逆时针)方向方向旋转任意角度旋转任意角度，得到如图，得到如图的情形的情形.请你通过观察、测请你通过观察、测量等方法判断量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断证明你的判断.【解】【解】BGDE，BGDE仍然成立仍然成立.证明：如图证明：如图，设，设BG与与DE相交于点相交于点O，DC与与BG相交于点相交于点H.四边形四边形ABCD、四边形、四边形CEFG都是正方形，都是正方形，BCCD，CGCE，BCDECG90.BCGDCE.BCGDCE.BGDE，CBGCDE.又又BHCDHO，CBGBHC90，CDEDHO90.DOH90.BGDE.