高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案新人教B版必修21.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算公式(不要求记忆公式)2理解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式的推导过程1棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式S直棱柱侧_，其中c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高S正棱锥侧_，其中c为正棱锥的底面周长，h为斜高S正棱台侧 _，其中c，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h为斜高斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求和，也可以先作出斜棱柱的直截面(与棱柱的侧棱垂直的截面)，设其周长为c，侧棱长为l，则S斜棱柱侧cl.【做一做11】长方体的对角线长为2，长、宽、高的比为321，那么它的表面积为()A44 B88 C64 D48【做一做12】已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是_【做一做13】一个正三棱台的上、下底面边长为3 cm和6 cm，高是cm，则三棱台的侧面积是_2圆柱、圆锥、圆台的面积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧_，其中l为圆柱的母线长，c为底面圆的周长，r为底面圆的半径S圆锥侧_，其中c，r分别为圆锥底面圆的周长与半径，l为母线长S圆台侧(cc)l(rr)l，其中c，r，c，r分别为圆台上、下底面圆的周长与半径，l为圆台的母线长(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式圆柱表面积：S圆柱2r22rl2r(rl)圆锥表面积：S圆锥_.圆台表面积：S圆台_.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，有时表面积又称为全面积通常把几何体的侧面展成平面图形，利用平面图形来求几何体的表面积侧面积是指侧面的面积，与表面积不同一般地，表面积侧面积底面积利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段【做一做21】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()A B2 C3 D4【做一做22】如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()A2 B C D3球的表面积S球_，其中R为球的半径(1)球的表面积可用语言叙述为：球面面积等于它的大圆面积的四倍(2)球面不能展开成平面图形，因此不能根据柱、锥、台的推导方法求解(3)不要求掌握其推导的过程，只要求记住公式并会应用【做一做31】若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是()A B C D2C2【做一做32】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_柱、锥、台的侧面积之间的区别和联系剖析：通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧2rl，S圆锥侧rl，S圆台侧(r1r2)l，三者之间公式的相互联系可以分析出(如图)：当r1变化时，相应的图形也随之变化，当r10，r2r时，相应的圆台就转化为圆锥，而当r1r2r时，相应的圆台就转化为圆柱，相应的侧面积公式也随之变化所以可归纳为：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为：S圆柱侧2rlS圆台侧(r1r2)lS圆锥侧rl.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间的变化关系为：S正棱柱侧chS正棱台侧(cc)hS正棱锥侧ch.一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法：因其结构特征不一致，因此应该先分别计算各侧面的面积，然后再将各侧面面积求和，即为相应的侧面积题型一 棱柱、棱锥、棱台的面积问题【例1】如图，正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，求该正四棱锥的侧面积和表面积分析：根据多面体的侧面积公式，必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而根据相应的公式求解，把问题转化到三角形内加以分析求解反思：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素，再代入面积公式求解空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算【例2】已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高分析：利用侧面积公式求出斜高，再利用正棱台中的直角梯形求高反思：求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素之间关系的桥梁题型二 圆柱、圆锥、圆台的面积问题【例3】一个直角梯形的上、下底和高的比为12，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比分析：利用轴截面求母线长反思：圆台的轴截面包含有圆台的各度量元素，是解有关圆台计算问题常用的平面图形【例4】已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？分析：本题是圆锥内接圆柱的组合体，圆锥的底面半径为R，高为H.解答本题只需求出圆柱的底面半径和母线长，再根据组合体之间的几何性质画出其轴截面利用平面几何知识去求底面半径，代入侧面积公式，就可以用x把侧面积表示出来，最后用二次函数求最值理论求其最大值，同时要注意自变量x的实际意义反思：立体几何中求某些量的最值时，也可采用代数方法其方法是：首先根据题意合理选取变元x，用其把所要求最值的量表示出来，然后采用代数方法求其最值题型三 球的切接问题【例5】长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，试求它的外接球的表面积分析：根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径这一关系列式即可反思：在处理球和长方体的组合问题时，通常是先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件来求题型四 易错辨析【例6】用互相平行且距离为27的两个平面截球面，两个截面圆的半径分别为r115，r224，试求球的表面积错解：设球的半径为R，由题意可设球心到两平行平面的距离为OO1d1，OO2d2，如图所示，可得d1，d2，R之间的关系：225d576(27d1)2，解得d120，d27，R25.S球4R22 500.错因分析：错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况，还应该讨论两平行平面位于球心同侧的情况1已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的全面积为()A3a26ah Ba26hC4a26ah Da26ah2(2012山东潍坊一模)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于()A4 B8 C16 D243一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是()A372 B360 C292 D2804已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是_5正四棱台的高是12 cm，两底面边长相差10 cm，全面积是512 cm2，则两底面的边长分别是_答案：基础知识梳理1chch(cc)h【做一做11】B设长，宽，高分别为3x,2x，x，则对角线长为x2，x2.表面积S2(6x23x22x2)88.【做一做12】【做一做13】cm22(1)cl2rlclrl(2)r2rlr(rl)(r2r2rlrl)【做一做21】C设圆锥的母线长为l，则l2，所以圆锥的表面积S1(12)3.【做一做22】C可以把母线的长设为1，根据已知求出圆台的高，进而根据公式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积34R2【做一做31】C【做一做32】27正方体的体对角线即为球的直径，即直径d3，球的半径R.S4R227.典型例题领悟【例1】解：正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成一个RtPOE.因为OE2 cm，OPE30，所以PE4(cm)因此S正四棱锥侧ch44432(cm2)，S正四棱锥表S正四棱锥侧S正四棱锥底324448(cm2)【例2】解：如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O，O1为两底面中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高由A1B120 cm，AB30 cm，则OD5 cm，O1D1cm.由S侧S上S下，得S侧(6090)DD1(202302)，解得DD1(cm)在直角梯形O1ODD1中，O1O4(cm)，即棱台的高为4cm.【例3】解：如图所示，设上、下底和高分别为x,2x，x，则母线长l2x，S上底x2，S下底(2x)24x2，S侧(x2x)2x6x2，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为146.【例4】解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧2rx，rRx，S圆柱侧2Rxx2(0xH)(2)S圆柱侧的表示式中x2的系数小于零，这个二次函数有最大值，这时圆柱的高是x0，且xH，满足题意，当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大【例5】解：如图为过长方体的一条体对角线的截面设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为x，y，z，则由已知有解得所以球的半径RAB.所以S球4R29.【例6】正解：设球的半径为R，球心O到两平行截面的距离分别为OO1d1，OO2d2.(1)当两平行截面位于球心O异侧时，如图，则225d576(27d1)2.解得d120，d27，R25.S球4R22 500.(2)当两平行截面位于球心O同侧时，如图，则225d576(d127)2.解得d120，d27，不符合题意，这种情况不存在综上知，球的表面积为2 500.随堂练习巩固1A柱体的全面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其全面积为S侧2S底6ah3a2.2C3B该几何体的直观图如图所示S表2(28810210)2(8682)360，故选B.4如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得解得r，所以底面积为r2.52 cm,12 cm如图所示，设正四棱台的上底面边长A1B1a cm，则AB(a10) cm，高OO112 cm，斜高EE113(cm)a2(a10)