高 等 数 学 教 案章节题目第一章函数与极限。1-1映射与函数课型理论课教学目的1. 加深对函数概念.的理解，了解函数的几种特性；.2. 理解复合函数的，了解反概念的函数；3会建立间单实际问题中的函数关系式4. 掌握基本初等函数及图象重 点1. 掌握求函数定义域的方法.2. 掌握初等函数及图象.难 点分段函数作图参考书目（1）、数学复习题集、数学题型集萃与练习题集（理工类），陈文灯、黄先开主编，世界图书出版公司2002年。（2）、高等数学习题解析，北京大学数学科学学院 田勇主编，机械工业出版社，2002年。（3）、高等数学双博士课堂，北京大学数学科学学院 邹本腾等主编，机械工业出版社，2003年。（4）新编高等数学题解，王东生，周泰文主编，华中理工大学出版社。（5）、高等数学，上海交通大学，上海交通大学出版社，1988年。教具教学后记教学 过 程备注（一）、复习上节内容（二）、讲授1-1映射与函数一、集合1. 集合的概念2. 集合的运算3. 区间和邻域二、映射1.映射概念三、函数1. 函数概念2. 函数的性质3.初等函数（三）、本次课内容小结（四）、布置作业 第一章 函数与极限1-1映射与函数一、集合1. 集合的概念是指具有某些特定性质的事物的总体，组成这个计合的事物称为该集合的元素。通常用大写拉丁字母A，B，CB表示集合，用小写拉丁字母a,b,c集合的元素.通常有两种表示法，列举法，描述法。2. 集合的运算3. 区间和邻域 （1）、有限区间：开区间，闭区间，半开区间，无限区间：（2）邻域：设是任意正数，则开区间就是点一个的邻域，这个邻域称为的记作，既 二、映射1. 映射概念定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中每个元素，按法则，在Y中有唯一的元素与之对应，则称为X到Y的映射,记作,其中元素（在映射下）的像。并记作，即 而元素称为元素（在映射下）的一个像；集合X称为映射的定义域，记作 ,即X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或。三、函数1 函数概念(1) .定义 设数集，则映射：为定义在上的函数，通常简记为 ， ，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域，记作，即(2 ).定义域的求法原则（a）分母不为零（b）（c）（d）（e）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1求的定义域解：且 且或 定义域为(3).分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点(4).复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例2 可复合成注意：就不能复合。例3 可以看作是复合成的复合函数。5.反函数设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。应当说明的是，虽然直接函数是单值函数，但是其反函数却不一定是单值的。例如，的定义域为，值域。任取非零的，则适合的的数值有两个：。所以，直接函数的反函数是多值函数：。如果把限制在区间上，则直接函数，的反函数是单值的。并称为直接函数，的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为。一个函数若有反函数，则有恒等式。相应地有。例如，直接函数的反函数为，并且有，。由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数。反函数与，这两种形式都要用到应当说明的是函数与它的反函数具有相同的图形。而直接函数与反函数的图形是关于直线对称的。2. 函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的。而函数在区间内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上都是偶函数。而、在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。3.初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数 它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示（3）对数函数 定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。图1-3图1-2（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示。（6）常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。图1-6通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备作业：. 6，8高 等 数 学 教 案章节题目第一章 函数与极限。1-2 数列的极限1-3 函数的极限课型理论课教学目的1理解极限的概念，了解极限的定义；2理解左极限、右极限的概念.；3了解极限的性质；重 点1极限的概念2. 求函数的左极限、右极限.难 点1. 用极限精确定义证明极限.2. 求函数的左极限、右极限.参考书目同上教具教学后记教学 过 程备注（一）、复习上节内容（二）、讲授1-2 数列的极限一、数列的极限1定义2性质1-3 函数的极限一、函数的极限1. 函数当时的极限时的定义2函数当时的极限时的定义二、定理(三)、本次课内容小结(四)、布置作业 1-2 数列的极限一、数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作它的解析1定义：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然收敛数列有下述3个性质2性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限。性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界。性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。1-3 函数的极限一、函数的极限1函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零。如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作。它的解析定义是：设函数当大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）。注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极