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1. (2011浙江省舟山,24,12分)已知直线(0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1) 直接写出1秒时C、Q两点的坐标; 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似,求的值(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2), 求CD的长; 设COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大? (第24题图2)(第24题图1)【答案】(1)C(1,2),Q(2,0)由题意得:P(t,0),C(t,3),Q(3t,0),分两种情形讨论:情形一:当AQCAOB时,AQC=AOB90,CQOA,CPOA,点P与点Q重合,OQ=OP,即3t=t,t=1.5情形二:当ACQAOB时,ACQ=AOB90,O=O3,AOB是等腰直角三角形,ACQ是等腰直角三角形,CQOA,AQ=2CP,即t =2(t 3),t=2满足条件的t的值是1.5秒或2秒(2) 由题意得:C(t,3),以C为顶点的抛物线解析式是,由,解得x1=t,x2=t;过点D作DECP于点E,则DEC=AOB90,DEOA,EDC=OAB,DECAOB,AO=4,AB=5,DE=t()=CD=CD=,CD边上的高=SCOD=SCOD为定值;要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短因为当OCAB时OC最短,此时OC的长为,BCO90,AOB90,COP90BOCOBA,又CPOA,RtPCORtOAB,OP=,即t=,当t为秒时,h的值最大2. (2011广东东莞,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BCx轴,垂足为点C(3,0).(1)求直线AB的函数关系式;(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.【解】(1)把x=0代入,得把x=3代入,得, A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得,解得所以,(2)把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和MN=-()=即点P在线段OC上移动,0t3.(3)在四边形BCMN中,BCMN当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形由,得即当时,四边形BCMN为平行四边形当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=,此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,此时BCCM,平行四边形BCMN不是菱形;所以,当时,平行四边形BCMN为菱形3. (2011江苏扬州,28,12分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB0)(1)PBM与QNM相似吗?以图1为例说明理由;(2)若ABC=60,AB=4厘米。 求动点Q的运动速度; 设RtAPQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由。 【答案】解:(1)PBM与QNM相似;MNBC MQMP NMB=PMQ=BAC =90PMB=QMN, QNM=B =90C PBMQNM(2)ABC=60,BAC =90,AB=4,BP=tAB=BM=CM=4,MN=4 PBMQNM 即:P点的运动速度是每秒厘米, Q点运动速度是每秒1厘米。 AC=12,CN=8 AQ=12-8+t=4+t, AP=4t S=(3) BP2+ CQ2 =PQ2 证明如下: BP=t, BP2=3t2 CQ=8-t CQ2=(8-t)2=64-16t+t2PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64BP2+ CQ2 =PQ27. (2011山东威海,25,12分)如图,抛物线交轴于点,点,交轴于点点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线过点F且与轴平行直线过点C,交轴于点D(1)求抛物线的函数表达式;(2)点K为线段AB上一动点,过点K作轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;(3)在直线上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形,求点N的坐标图 备用图【答案】 解:(1)设抛物线的函数表达式抛物线与轴交于点,将该点坐标代入上式,得所求函数表达式,即(2)点C是点A关于点B的对称点,点,点,点C的坐标是将点C的坐标是代入,得直线CD的函数表达式为设K点的坐标为,则H点的坐标为,G点的坐标为点K为线段AB上一动点,当时,线段HG长度有最大值(3)点F是线段BC的中点,点,点 ,点F的坐标为直线过点F且与轴平行,直线的函数表达式为点M在直线上,点N在抛物线上 ,设点M的坐标为,点N的坐标为点,点 ,分情况讨论: 若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边,则须MNAC,且MNAC8当点N在点M的左侧时,解得N点的坐标为当点N在点M的右侧时,解得N点的坐标为若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称取点F关于点B对称点P,则点P的坐标为过点P作NP轴,交抛物线于点N将代入,得过点N,B作直线NB交直线于点M在BPN和BFM中,BPNBFMNBMB四边形点ANCM为平行四边形坐标为的点N符合条件当点N的坐标为,时,以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形8. (2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=x+,点A、D的坐标分别为(4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,OPQ的面积为s(不能构成OPQ的动点除外).(1)求出点B、C的坐标;(2)求s随t变化的函数关系式;(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.OxyABCDPQOxyABCD(备用图1)90(备用图2)90OxyABCD【答案】解:(1)把y4代入yx,得x1. C点的坐标为(1,4). 当y0时,x0,x4.点B坐标为(4,0).(2)作CMAB于M,则CM4,BM3.BC5.sinABC.当0t4时,作QNOB于N,则QNBQsinABCt.SOPQN(4t)t t2t(0t4).当4t5时,(如备用图1),连接QO,QP,作QNOB于N.同理可得QNt.SOPQN(t4)t. t2t(4t5).当5t6时,(如备用图2),连接QO,QP.SOPOD(t4)42t8(5t6).(3)在0t4时,当t2时,S最大.在4t5时,对于抛物线St2t,当t2时,S最小222.抛物线St2t的顶点为(2,).在4t5时,S随t的增大而增大.当t5时,S最大5252.来源:Z,xx,k.Com在5t6时,在S2t8中,20,S随t的增大而增大.当t6时,S最大2684.综合三种情况,当t6时,S取得最大值,最大值是4.(说明:(3)中的也可以省略,但需要说明:在(2)中的与的OPQ,中的底边OP和高CD都大于中的底边OP和高.所以中的OPQ面积一定大于中的OPQ的面积.)
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