直线、平面垂直的判定与性质知识能否忆起一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面b3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 l小题能否全取1(教材习题改编)已知平面，直线l，若，l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面、都垂直解析：选DA中平面可与平行或相交，不正确B中直线可与垂直或斜交，不正确C中平面可与直线l平行或相交，不正确2.(2012厦门模拟)如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1 DA1C1解析：选D易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.3已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，n，mn，则m解析：选C对于选项A，若m，n，则mn，或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面内，所以B错误；对于选项D，m与的位置关系还可以是m，m，或m与斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确4.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个答案：45(教材习题改编)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB.则下列命题正确的有_PAAD；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；直线PD与平面ABC所成角为30.解析：由PA平面ABC，PAAD，故正确；中两平面不垂直，中AD与平面PAE相交，BCAD，故不正确；中PD与平面ABC所成角为45.答案：1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理3几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直垂直关系的基本问题典题导入例1(2012襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m、n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则n；m，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂直其中的假命题的序号是_自主解答显然错误，因为平面平面，平面内的所有直线都平行，所以内的两条相交直线可同时平行于；正确；如图1所示，若l，且nl，当m时，mn，但n，所以错误；如图2显然当mn时，m不垂直于n，所以错误答案由题悟法解决此类问题常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选以题试法1(2012长春模拟)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b；若a，a，则；若a，则a或a；若ab，a，b，则.其中正确命题的个数为()A1B2C3 D4解析：选D对于，由b不在平面内知，直线b或者平行于平面，或者与平面相交，若直线b与平面相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“ab”相矛盾，因此正确对于，由a知，在平面内必存在直线a1a，又a，所以有a1，所以，正确对于，若直线a与平面相交于点A，过点A作平面、的交线的垂线m，则m，又，则有am，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此正确对于，过空间一点O分别向平面、引垂线a1、b1，则有aa1，bb1，又ab，所以a1b1，所以，因此正确综上所述，其中正确命题的个数为4.直线与平面垂直的判定与性质典题导入例2(2012广东高考)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.自主解答(1)证明：因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH.因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD.所以底面ABCD为直角梯形所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推论(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面以题试法2(2012启东模拟)如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明：(1)连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，ANPC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BCPB.从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BNPC.ANBN.ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)连接PM，MC，PDA45，PAAD，APAD.四边形ABCD为矩形，ADBC，APBC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PAMCBM.PMCM.又N为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.面面垂直的判定与性质典题导入例3(2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.自主解答(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.由题悟法1判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直以题试法3(2012泸州一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)若点M在线段PC上，且PMtPC(t0)，试确定实数t的值，使得PA平面MQB.解：(1)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.连接BD，因为四边形ABCD为菱形，BAD60，所以ABBD.所以BQAD.因为BQ平面PQB，PQ平面PQB，BQPQQ，所以AD平面PQB.因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)当t时，PA平面MQB.证明如下：连接AC，设ACBQO，连接OM.在AOQ与COB中，因为ADBC，所以OQAOBC，OAQOCB.所以AOQCOB.所以.所以，即.由PMPC，知，所以，所以APOM.因为OM平面MQB，PA平面MQB，所以PA平面MQB.1(2012杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是()Aac，bcB，a，bCa，b Da，b解析：选C对于选项C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线