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高考复习中的简单的线性规划什邡市洛水中学 钟成建线性规划是直线方程的简单应用,是新增添的教学内容,是新大纲重视知识应用的体现。高考试题与线性规划有关的内容在2004年、2005年各自主命题省市的试卷及全国试卷中都有所体现,但试题的类型总的来讲可以归纳为以下三个方面:一、二元一次不等式(组)表示的平面区二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定方法是:因为在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),数Ax+By+C的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)(若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简便;原点在直线上,则取点(1,0)最简便),检验不等式是否成立。若成立,表示与特殊点同侧的区域;否则,异侧。例1、 下列图中阴影部分可用二元一次不等式组( )表示。 A、 B、 C、 D、 练习:三角形ABC的三个顶点坐标是A(1,1)、B(-1,-1)、C(3,-2)试用一个不等式组表示三角形内部及边界的区域。二、目标函数的最值(常见的三种类型)1、型:由于是常数,只需先求出的最值,再加上,就是的最值,因此设直线:,则直线:与平行,将往右(或左)平移时,(几何意义是坐标轴上的截距)随之增大(或减小)。在可行域中确定最优解的位置,求出最优解,并代入得到最值,从而得到的最值。2、型:可以看成点()到可行域中的点之间的距离平方问题进行求解;3、型:可以看成点()与可行域中的点连线斜率问题进行求解;例2、已知变量满足下列条件,求:(1)的最值;(2)的最值;(3)的最值;解:练习:已知变量满足下列条件求: 求:(1)的最值;(2)的最值;(3)的最值;三、利用线性规划的理论和方法解决实际问题(1)物资调运中的线性规划问题 例3 、A,B两仓库各有编织袋50万个和30万个,由于抗洪抢险的需要,现需调运40万个到甲地,20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个;从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元万个。问如何调运,能使总运费最小?总运费的最小值是多少?解:(2)产品安排中的线性规划问题 例4、某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料,已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨,麦麸0.2吨,其余添加剂0.4吨;生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨,麦麸0.3吨,其余添加剂0.2吨。每1吨甲种饲料的利润是400元,每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨,麦麸供应量不超过500吨,添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数),能使利润总额达到最大?最大利润是多少?(3)配料与下料中的线性规划问题例5、现有2m及3m长的条钢各10根,需截成0.6m和0.8m长两种规格的零件毛坯,其中0.6m长的毛坯需20个,0.8m长的毛坯需30个,为使材料不浪费,且使所用条钢根数最小,该如何设计下料方案。 小结:1、 目标函数在约束条件下的最值问题的解决方法。2、线性规划的理论和方法在两类问题中的应用: (1)人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务; (2)给定一项任务,如何合理安排和规划能,以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。 3、对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题,可以用图解法求解。其基本的解决步骤是: 1) 建立线性约束条件及线性目标函数;2) 画出可行域; 3) 求出线性目标函数在可行域内的最值;4) 作答。
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