2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题9.5 椭圆目录一、考点全归纳1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆(2)若ac，则集合P为线段(3)若ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.【常用结论】(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|.1(ab0)，r1aex0，r2aex0；1(ab0)，r1aey0，r2aey0；焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；Sb2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.(4)AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l|x1x2|y1y2|；直线AB的斜率kAB.二、题型全归纳题型一 椭圆的定义及应用【解题要点】(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.类型一利用定义求轨迹方程【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆(2)设P为椭圆C：1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且PF1F2的重心为点G，若|PF1|PF2|34，那么GPF1的面积为()A.24 B.12 C.8 D.6类型二利用定义解决“焦点三角形”问题【例2】已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且12，若PF1F2的面积为9，则b_类型三利用定义求最值【例3】设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值和最大值分别为()A9，12B8，11C8，12 D10，12题型二 椭圆的标准方程【规律与方法】求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)【例1】 (1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为_.【例2】过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_题型三 椭圆的几何性质【解题要点】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围 类型一椭圆的长轴、短轴、焦距【例1】 (2020河南洛阳一模)已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A5 B6C9 D10类型二求椭圆的离心率【例2】过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是_【例3】 已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.类型三根据椭圆的性质求参数【例4】(1)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，) B(0，9，)C(0，14，) D(0，4，)(2)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_题型四直线与椭圆的位置关系【规律方法】研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆有交点 【例1】(2020揭阳模拟)若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm0C0mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程题型六 中点弦问题【规律方法】弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.【例1】 已知椭圆y21，(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.【例2】(1)已知椭圆y21，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为_(2)焦点是F(0，5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_题型七 椭圆与向量的综合问题【题型要点】解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 【例1】(2020湖南永州二模)已知动点M到两定点F1(m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0mb0)的离心率为，则()A.BC. D2已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A.1 B.1或1C.1 D.1或13已知点F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且F1PF260，则|PF1|PF2|()A4 B6C8 D124设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1 BC. D15(2020江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：1(ab0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为()A1 B2C3 D46椭圆4x29y2144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A BC D7已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A. BC. D28(2020石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A. BC. D9设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3C2 D110(2020福建福州一模)已知F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1MPK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为()A(0，1) B(0，)C(0，)