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18.2.3 正方形学习目标:1掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用知识网络:1正方形的定义:有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形,因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的 ,又是一个特殊的有一个角是直角的 2正方形的性质:正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形的四个角都 ;四条边都 且 ;正方形的两条对角线 ,并且互相 ,每条对角线平分 对角它有 条对称轴3正方形的判定:(1) 的平行四边形是正方形;(2) 的矩形是正方形;(3) 的菱形是正方形;(4)对角线 的四边形是正方形典型例题:【例1】如图,四边形ABCD、AEFG均为正方形,其中E在BC上,且B、E两点不重合,并连接BG根据图中标示的角判断下列1、2、3、4的大小关系何者正确?( )A.12 B.12 C.34 D.34答案:D解:四边形ABCD、AEFG均为正方形,BAD=EAG=90,BAD=1+DAE=90,EAG=2+DAE=90,1=2,在RtABE中,AEAB,四边形AEFG是正方形,AE=AG,AGAB,34故选D【变式训练1】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,则AEB的度数为( )A.10 B.15 C.20 D.12.5【例2】如图,在ABC中,ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A.BC=AC B.CFBF C.BD=DF D.AC=BF答案:D解:EF垂直平分BC,BE=EC,BF=CF,BF=BE,BE=EC=CF=BF,四边形BECF是菱形;当BC=AC时,ACB=90,则A=45时,菱形BECF是正方形A=45,ACB=90,EBC=45EBF=2EBC=245=90菱形BECF是正方形故选项A正确,但不符合题意;当CFBF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项B正确,但不符合题意;当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项C正确,但不符合题意;当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D错误,符合题意故选:D【变式训练2】1.如图,与OH相等的线段有( )A.8 B.7 C.6 D.42.已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分DAE交CD于F,求证:AE=BE+DF巩固练习:1. 如图,有两个正方形和一个等边三角形,则图中度数为30的角有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.正方形的边长是5,则其面积为( )A.5 B.10 C.15 D.254.矩形,菱形,正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直5.如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有( )A.4个 B.6个 C.8个 D.10个6.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的条件是( )A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等7.不能判定四边形是正方形的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形B.对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形8.如图所示,四边形ABCD为一正方形,E、F分别为BC、CD的中点,对角线AC与BD相交于O点,且AE与OB相交于G点,AF与OD相交于H点,下列说法正确的有( )E点是线段BC的重心;G点是ABC的重心;H点是ADC的重心;O点是正方形ABCD的重心A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.如图,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DGAE,垂足为G,延长DG交AB于点F. 求证:BF=CE.10. 已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DGAE于G,DG交OA于F求证:OE=OF
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