广义二重积分问题一、广义二重积分问题若区域Q是平而上的无界区域，f(x,y)在区域D上连续，则在区域 D上的广义二重积分定义为limDr-D其中D厂是无重点的连续闭曲线厂画出的有界闭区域，且闭曲线厂连续扩张弁趋于区域Do若上式右端极限存在，则称/(XO)在区域D上可积，或称/Uo)在区域D上广义二 重积分收敛， 否则称广义二重积分发散。根据无界区域的特点，熟练掌握下述三种构造有界闭区域D厂的方法。1、4=(x,y)： ax +oo,(px) y A(x)(如曲 1 所示)。则构造Db = (x,y): a x b.(p(x) y 0(x),JJ.fg y)db =配y)db = fclim J: d 寸:(：/(x, y)dy,DDb2、当 D = (x,y):c y +oo,(p(y) x 班 y)(如图 2 所示九则构造D = (x, y ) : cxd. 0( y) x (y),J ”(利)% =孑轴J fAy)da =尽f心心,Ddp(y)飒y)3、当区域D是整个xoy平而或xoy平而的某一象限或某一角形区域时，则构造/)斥=(兀)，)：x2+y2角度变化范围,JJ/(x, y)da =JJ/(x, y) b,Dfg dr例1计算二重积分，其中 D是由曲线y = 9x2和y = 4/在第一象限所 D/fJ vji构成的无界区域，即D = (x.y) :0 yt/.a (如图3所示九国3解：口 工厂LA小lim ayj- dxdy = liDDff=-lim (d一eA y2dv =- 2d?cJo 49+0C例2证明Jdx =花 一X+0C 2只需证明J eAdx2 =即可，而-X+x丫2 +0CJe A 2 = Aex dxAe-y dy ,为止匕设-X-CC-0C/?(/?) = (x,y) I x 2+y2z?2); r2(y/2R) = (x,y)x2 +D(R) = (x,y)-Rx R-R y Rm Jj 八.你- i/x|t/v一144y“,则，u D（R）匚G（迈R）（如图4所示）n(y!2R)J|厂？ da = 7r-eRZ) jj ex2yZdo jjex2yla =龙(1 - e) D(R)所以，当 Rts 时，W -Kc+oo龙 =JjVf/b= j j ex2yZdxdy = jex2dx 2 0D(x) oo oo-x*x 因此， 厂厂 dx =花 oX