资源预览内容
第1页 / 共3页
第2页 / 共3页
第3页 / 共3页
亲,该文档总共3页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
l 设p0,q0,且p3+q3=2,求证:p+q2.考查 不等式的证明 基本不等式 导数在函数中的应用 解答1 利用一元二次方程有实根的判别式法方法一:设p+q=k,则有q=k-p,两边立方,得q3=(k-p)3=k3-3k2p+3kp2-p3,即p3+q3=k3-3k2p+3kp2,又因为p3+q3=2,所以得到3kp2-3k2p+k3-2=0 因为p0,q0,所以k0,从而关于p的方程()有实根,故=(3k2)2-12k(k3-2)0,解得k2,即p+q2.方法二:利用p3+q3=(p+q)3-3pq(p+q)=2,pq=; 设p+q=k,从而pq=,故p、q是关于x的方程x2-kx+=0的两个实根,从而=k2-40,即,解得(说明:亦可以由k0,得到k3-80),所以p+q2.2 利用简易逻辑中的反证法方法三:假设p+q2,则p2-q,两边立方得p38-12q+6q2-q3,而p3+q3=2,6q2-12q+60,即6(q-1)22,则p2-q,两边立方得p38-12q+6q2-q3,即得p3+ q38-12q+6q2=6(q-1)2+22,从而p3+ q32,这与已知条件“p3+q3=2”矛盾,故p+q2.3 利用基本不等式或均值不等式方法五:pq=,又p+q0,所以得到4(p+q)3-83(p+q)3,即(p+q)38,从而p+q2.方法六:因为p0,q0,所以p+q,两边平方得pq ; 又因为(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pq(p+q) 2+3,解得p+q2.方法七:因为p0,q0,所以,两式相加,因为p3+q3=2,得.4 用导数在函数中的应用来求解方法八:设x=p,则根据条件有q3=2-x3,从而q=,设函数,其中(0, ),求导,;令,得,列表得x(0,1)1(1, )+0-f(x)极大值(最大值)从而,即p+q2.(说明:事实上,通过上面的分析,得到.方法九:由于p3+q3=2,所以1-p3=q3-1,故p3,1,q3成等差数列,设公差为d,则有p3=1-d,q3=1+d,其中d(-1,1),p+q=;记,可见函数在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数,从而,即p+q2.方法十:根据条件有,又,设即,其中然后求导(略).5 利用向量来求解方法十一:设m=(,),n=(,),则有mn|m|n|, 即p2+q2,即p2+q2,而,所以,解得p+q2.6 利用函数的凸性来解方法十二:考察函数在区间上是下凸函数,从而对于区间内的任意两个实数p、q,都有,即,因为p3+q3=2,所以,p+q2.
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号