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数学重点、难点归纳辅导第一部分For personal use only in study and research; not for commercial use第一章集合与映射 1.集合 2.映射与函数本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示法,函数 的表示法与函数的一些基本性质。第二章数列极限 1.实数系的连续性 2.数列极限 3.无穷大量 4.收敛准则本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收敛准则, 理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数 1.函数极限 2.连续函数 3.无穷小量与无穷大量的阶 4.闭区间上的连续函数本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量 与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质。第四章 微分 1.微分和导数 2.导数的意义和性质 3.导数四则运算和反函数求导法则 4.复合函数求导法则及其应用 5.高阶导数和高阶微分本章教学要求:理解微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质及相互关 系,熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用 1.微分中值定理 2.L / Hospital 法则 3.插值多项式和Taylor公式 4.函数的Taylor公式及其应用 5.应用举例6. 函数方程的近似求解 本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式,并应用于函数性质的 研究,熟练运用 L Hospital 法则计算极限,熟练应用微分于求解函数的极值 问题与函数作图问题。第六章 不定积分1. 不定积分的概念和运算法则2. 换元积分法和分部积分法3. 有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和分部积分 法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章 定积分( 1 3) 1. 定积分的概念和可积条件 2. 定积分的基本性质 3. 微积分基本定理第七章定积分( 4 6)4. 定积分在几何中的应用5. 微积分实际应用举例6. 定积分的数值计算 本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿莱布尼 兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物理与实际应用中的 问题,初步掌握定积分的数值计算。第八章 反常积分1. 反常积分的概念和计算2. 反常积分的收敛判别法 本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛判别法与 反常积分的计算。第九章 数项级数1. 数项级数的收敛性2. 上级限与下极限3. 正项级数4. 任意项级数5. 无穷乘积 本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极限的概 念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章 函数项级数 1. 函数项级数的一致收敛性 2. 一致收敛级数的判别与性质 3. 幂级数4. 函数的幂级数展开5. 用多项式逼近连续函数 本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致收敛 性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练展开函数为幂 级数,了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 1.Euclid 空间上的基本定理2. 多元连续函数3. 连续函数的性质 本章教学要求:了解 Euclid 空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限与连续性的 概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧集上连续函数的性 质。第十二章 多元函数的微分学( 1 5) 1. 偏导数与全微分 2. 多元复合函数的求导法则 3.Taylor 公式4. 隐函数5. 偏导数在几何中的应用第十二章 多元函数的微分学( 6 7)6. 无条件极值7.条件极值问题与 Lagrange 乘数法 本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一元函数对 应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法,掌握偏导数在几 何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章 重积分1. 有界闭区域上的重积分2. 重积分的性质与计算3. 重积分的变量代换4. 反常重积分 5. 微分形式 本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算方法,会 熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重积分变量代换的表 示公式上的应用。第十四章 曲线积分与曲面积分1. 第一类曲线积分与第一类曲面积分2. 第二类曲线积分与第二类曲面积分 3.Green 公式,Gauss公式和 Stokes 公式 4.微分形式的外微分 5.场论初步本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法,掌握 Green公式,Gauss公式和Stokes公式的意义与应用,理解外微分的引入在给 出Green公式,Gauss公式和Stokes公式统一形式上的意义,对场论知识有一 个初步的了解。第十五章 含参变量积分 1.含参变量的常义积分 2.含参变量的反常积分 3.Euler 积分本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量反常 积分一致收敛的概念,一致收敛的判别法,一致收敛反常积分的性质及其在积 分计算中的应用,掌握Euler积分的计算。第十六章 Fourier 级数 1.函数的Fourier级数展开 2. Fourier级数的收敛判别法 3. Fourier级数的性质 4. Fourier 变换和 Fourier 积分 5.快速Fourier变换本章教学要求:掌握周期函数的 Fourier级数展开方法,掌握Fourier级数的 收敛判别法与Fourier级数的性质,对Fourier变换与Fourier积分有一个初 步的了解。试题、解答下列各题求极限1、lim tan x -tan2x=2 sin ln( x -1)2、求 J(ex +1)3exdx.求极限3、limXT: x100x210x1201x0.01x 0.001c 3x c4、设八 x 0 sin tdt,求 y ;5、6、设 f (x)X2 X 1, X 乞1;(2x -x2,x 1求极限limxT 1x2 -1ln x求f (1 a) f (1 -a),其中 a 0.7、设 y =(3x +1)ln(3x +1),求y丄3求 2x dx.0 . 28、1x9、设 y(x) =x3e谡x,求dy x4 .2求由方程x23+y3=a23(常数a0)确定的隐函数10、y=y(x)的微分 dy.设 y 二 y(x)由X = (1 S2) 2 和y = (1 一 S2) 2 所确定, 试求巴.11、dxx y12、 设y = y(x)由方程y = e所确定,求y *13、 若x 0, 证明 x2 +ln(1 +x)2 2x求f15、dxx . 4 - x216、 d x(x 1)( x21)、解答下列各题4、要做一个圆锥形漏斗,其母线长20cm,要使其体积最大,问其高应为多少?2、求曲线y=2-x2与y=x所围成的平面图形的面积.3、求曲线y = x2和y = x3在b,1上所围成的平面图形的面积三、解答下列各题证明方程x5 7x=4在区间(1, 2)内至少有一个实根.四、解答下列各题判定曲线y = (x 3) . x在0, 上的凹凸性第二部分(1) 课程名称:微分几何(2) 基本内容:三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有:曲线论,内容包括:曲线的切向量与弧长;主法向量与从法向量;曲率 与扰率;Frenet标架与Frenet公式;曲线的局部结构;曲线论的基本定 理;平面曲线的一些整体性质,如切线的旋转指标定理,凸曲线的几何 性质,等周不等式,四顶点定理与 Cauchy-Crofton 公式;空间曲线的一 些整体性质,如球面的 Crofton公式,Fenchel定理与Fary-Milnor定 理。曲面的局部理论 ,内容包括:曲面的表示、切向量、法向量;旋转曲 面、直纹面与可展曲面;曲面的第一基本形式与内蕴量;曲面的第二基本形式;曲面上的活动标架与基本公式;Wein garten变换与曲面的渐近线、共扼线;法曲率;主方向、主曲率与曲率线;Gauss曲率和平均曲率;曲面的局部结构;Gauss映照与第三基本形式;全脐曲面、极小曲 面与常Gauss曲率曲面;曲面论的基本定理;测地曲率与测地线;向量 的平行移动。基本要求 :通过本课程的学习,学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何 概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何 学打好基础;另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。、讲授纲要第一章 三维欧氏空间的曲线论1 曲线 曲线的切向量 弧长 教学要求:理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧 长参数表示曲线。2 主法向量与从法向量 曲率与扰率 教学要求:理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切 平面等基本概念,会计算曲率与挠率。3 Frenet 标架 Frenet 公式教学要求:掌握Frenet公式,能运用Frenet公式去解决实际问题。4 曲线在一点邻近的性质 教学要求:能表达曲线在一点领域内的局部规范形式,理解扰率符号 的集合意义。5 曲线论基本定理 教学要求:掌握曲线论的基本定理,能求已知曲率与扰率的一些简单 的曲线。6 平面曲线的一些整体性质61 关于闭曲线的一些概念62 切线的旋转指标定理63 凸曲线 *64 等周不等式 *65 四顶点定理 *6. 6 Cauchy-Crofton 公式 *教学要求:理解平面曲线的一些基本概念:闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质:简单闭曲线切 线的旋转指标定理,凸曲线的几何性质,等周不等式,四 顶点定理与Cauchy-Croft on 公式。7 空间曲线的整体性质7. 1 球面的 Crofton 公式 *7. 2 FencheI定理*7. 3 Fary-Milnor 定理* 教学要求:理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质:球面 的 Crofton 公式,Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理。第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何1 曲面的表示 切向量 法向量1. 1 曲面的定义1. 2 切向量 切平面1. 3 法向量1. 4 曲面的参数表示1. 5 例1. 6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面 教学要求:掌握曲面的三种局部解析表示;会求曲面的切平面与法 线;了解旋转曲面与直纹面的表示;掌握可展曲面的特 征。2 曲面的第一、第二基本形式2. 1曲面的第一基本形式2.2曲面的正交参数曲线网2.3等距对应 曲面的内蕴几何2.4共形对应2.5曲面的第二基本形式
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