11.2 余弦定理(二)尹 分层训练 三 解疑纠偏，训练检测一、基础达标1若三条线段的长分别为 5,6,7，则用这三条线段()A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形答案 B526272 1解析因三角形最大边对应的角的余弦值cos 0= 2X5X6 =50，所以能 组成锐角三角形2.在ABC 中，AB = 5, AC=3, BC=7,贝UABAC等于()AA. 2B.152C.13 D. 15答案B解析A=AB2+AC2-BC252 + 32 - 721 -2，二 ABAC = IABIIACIcos cos2ABAC-2X5X3 -ZBAC = 5X3x-2j= - 字，故选 B.3如果将直角三角形的三边增加同样的长度，贝新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形三边为a, b, c,且a2 + b2 = c2,则(a + x)2 + (b + x)2 一(c + x)2 = a2 + b2 + 2x2 + 2(a + b)x 一 c2 - 2cx 一 x2 = 2(a + b - c)xx20,最大边c + x所对的最大角变为锐角.4.已知 a, b, c 为ABC 的三边，B=120。，则 a2+c2+acb2=()56A0 B1 C1 D2答案解析T b2 = a2 + c2 2accos B = a2 + c2 2accos 120 = a2 + c2 + ac.a2 + c2 + ac - b2 = 0.在ABC 中，若 a2_b2=r吕be, sin C=；3sin B,则 A = 答案 30解析 由sin C = 23sin B,根据正弦定理，得c = 2；3b, 代入 a2 - b2 = ：3bc,得 a2 - b2 = 6b2，即 a2 = 7b2.b2 + c2 - a2 b2 + 12b2 - 7b26b2由余弦定理得cos A = r = 4弓2bc又-/0A180,AA = 30.在ABC 中，若 a = 2, b + c=7, cos B=_4,则 b =答案 4解 析 在 ABC 中， 由 余弦定 理 ，得a2 + c2 - b2cos B =2ac4，即4 + (c - b)(c + b) 4 + 7(c - b)14c4c4- 8c - 7b + 4 = 0,由?+c=7，得r=4, 8c-7b+ 4 = 0 lc = 3. b = 4.7在8BC 中，求证：a2_b2sin（A_B）sin Csin Acos B- cos Asin B 证明 因为右边=sin Csin Asmc cos B-sin BsnC cos A =a a2 + c2 - b2 b b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 b2 + c2 - a2 a2 - b2 c2acc2ac2bc2c22c2左边所以a2-b2 sin(A-B)sin C8已知AABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, asin A + csin C_：2asinC=bsin B.(1)求 B；(2)若 A = 75, b = 2，求 a, c.解(1)由正弦定理，得a2 + c2 - ；2ac = b2,由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2accosB,故 cos B =.由于 B (0，兀,)(2)sin A = sin (30 + 45) =1+-6因此B = 45.4 故。=呼斗i+Hr沁C4sin B2sin B2 入 sin 45。、岳.二、能力提升9在ABC 中,若 a2= bc，则角 A 是()A.锐角B.钝角 C直角D.不确定答案 A解析cos A =b2+ c2a22bcL c3c2b2 + c2_bC T + *o, V0A180, /2bc2bc0A90.10. 在ABC 中，已知(b+c) ： (c+a) ： (a+b)=4 ： 5 ： 6，贝UABC 的最大内角为()A. 120 B. 90 C. 150 D. 60答案 A解析设 b + c = 4k, c + a = 5k, a + b = 6k(k0), 则 a + b + c = 7.5k，解得 a = 3.5k, b = 2.5k, c = 1.5k. a是最大的边，即角A是AABC的最大角.b2 + c2 - a2cos匸12.*/0A0,.a2，最大边为 2a+l.T三角形为钝角三角形，二a2 + (2a - 1)22a + 1,.a2,.2vav8.12. 在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知cos 2C=_求sin C的值；(2)当 a=2,2sin A = sin C 时，求 b 及 c 的长. 解 (1)Tcos 2C = 1 - 2sin2C =_ 4， 0Cn,二 sin(2)当 a = 2,2sin A = sin C 时,由正弦定理,asin Acsin C，得 c = 4.由 cos 2C = 2cos2C - 1 =- 4及 OvC0), 解得b =召或2仏b = ：6c= 4或存三、探究与创新13.在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 2asinA = (2b + c)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2 = (2b + c)b + (2c + b)c，即 a2 = b2 + c2 + bc.由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccos A，故 cos A =- g又 A (0, n),2nA 盲(2)由(1)中a2 = b2 + c2 + bc及正弦定理，可得sin2A = sin2B + sin2C + sin Bsin C,=sin2B + sin2C + sin Bsin C,又 sin B + sin C = 1, 得 sin B = sin C = *,_n又 0B, C3，.B = C,ABC 为等腰的钝角三角形