第2招 构造全等三角形的七种常用方法北师版北师版 八年级八年级下下例典例剖析如图，已知如图，已知ABCD，CE，BE分别平分分别平分BCD和和CBA，点，点E在在AD上求证：上求证：BCABCD.【解题秘方】证证明明线线段段的的和和差差时时，常常采采用用截截长长补补短短法法，把把较较短短的的线线段段延延长长，或或把把较较长长的的线线段段截截成成两两条条短短线线段段，构构造造全全等等三三角角形来证明形来证明方法1翻折法分类训练1 如如图，在图，在ABC中，中，BE是是ABC的平分线，的平分线，ADBE，垂，垂足为足为D.求证：求证：21C.【证明】如图，延长【证明】如图，延长AD交交BC于点于点F(相当于将相当于将AB边向下翻边向下翻折，点折，点A落在点落在点F处，折痕为处，折痕为BD)BE平分平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.2 2023北京八中模拟北京八中模拟如图，如图，AOB90，OM平分平分AOB，直角三角板的直角顶点，直角三角板的直角顶点P在射线在射线OM上移动，两直角边上移动，两直角边分别与分别与OA，OB相交于点相交于点C，D，问，问PC与与PD相等吗？试相等吗？试说明理由说明理由方法2作垂线法【解】【解】PCPD.理由如下：如图，过点理由如下：如图，过点P分别作分别作PEOA，PFOB，垂足分别为点，垂足分别为点E，F.OM平分平分AOB，PEPF.AOB90，PEOPFO90，EPF90，即，即EPCCPF90.3 如如图，图，ABC中，中，BAC60，C40，AP平分平分BAC交交BC于于P，BQ平分平分ABC交交AC于于Q.求证：求证：ABBPBQAQ.方法3作平行线法如图，过点如图，过点P作作PDBQ交交CQ于点于点D，则则CPDCBQ40.CPDC40.PDCD，ADPCPDC404080.又又ABC80，ABCADP.AP平分平分BAC，BAPCAP.4 如如图，在图，在ABC中，中，D为为BC的中点的中点(1)求证：求证：ABAC2AD；方法4倍长中线法【证明】如图，延长【证明】如图，延长AD至点至点E，使，使DEAD，连接，连接BE，则则AE2AD.D为为BC的中点，的中点，CDBD.又又ADED，ADCEDB，ADCEDB(SAS)ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)若若AB6，AC2，求，求AD的取值范围的取值范围【解】【解】ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB6，AC2，42AD8.2AD4.【点方法】本本题题运运用用倍倍长长中中线线法法构构造造全全等等三三角角形形，将将证证明明不不等等关关系系和和求求线线段段取取值值范范围围的的问问题题通通过过证证全全等等，转转化化到到一一个个三三角角形中，利用三角形的三边关系来解决形中，利用三角形的三边关系来解决5 如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是分别是BC，CD上的点，且上的点，且EAF60.探究图中线段探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关之间的数量关系并证明系并证明方法5截长(补短)法【解】【解】EFBEFD.证明：如图，延长证明：如图，延长FD到点到点G，使，使DGBE，连接，连接AG.BADC90，BADG90.6 2023杭州公益中学月考杭州公益中学月考已知如图，已知如图，ACAE，ADAB，ACBDAB90，AECB，AC，DE交于点交于点F.方法6补形法(1)求证：求证：DACABC；【证明】【证明】ACB90，AEBC，CAE180ACB90，ABCBAE，BAE90BAC.DAB90，DAC90BAC，DACBAE，DACABC.(2)线段线段AF，BC具有怎样的数量关系？具有怎样的数量关系？【解】如图，作【解】如图，作DGAC交交AC的延长线于点的延长线于点G.AGDG，ACB90，AGDACB90，7 2023济南章丘区四中模拟济南章丘区四中模拟在在ABC中，中，BAC90，ACAB，直线，直线MN经过点经过点A，且，且CDMN于于D，BEMN于于E.(1)当直线当直线MN绕点绕点A旋转到图旋转到图的位置时的位置时，EABDAC_；方法7旋转法90(2)求证：求证：DECDBE；【证明】【证明】CDMN于于D，BEMN于于E，ADCBEA90.DACDCA90.DACEAB90，DCAEAB.(3)当直线当直线MN绕点绕点A旋转到图旋转到图的位置时，试问的位置时，试问DE，CD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明以证明【解】【解】CDBEDE.证明：证明：CDMN于于D，BEMN于于E，ADCBEA90.DACDCA90.DACEABBAC90，DCAEAB.