三角函数三角函数第五章第五章5.1.1任意角任意角5.1任意角和弧度制任意角和弧度制课程标准核心素养了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.通过对任意角和弧度制的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.课前自主预习课前自主预习1角的分类知识点1角的分类及加减运算逆时针顺时针没有2角的加、减法(1)两角相等：如果两角、的旋转方向相同且旋转量相等，就称.(2)角的加法：设、是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.(3)角的减法：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为.角的减法：()微思考1当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不确定，因为角的旋转量和旋转方向不确定，因而角不确定2时钟经过1小时，时针转动的角的大小是_1象限角：以角的_为坐标原点，角的_为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角2如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角知识点2象限角顶点始边微体验下列说法：第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中错误的序号为_解析由象限角定义可知都不正确答案1前提：表示任意角2表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个_的和知识点3终边相同的角周角微体验思考辨析(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍()(3)终边相同的角的表示不唯一()解析由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确答案(1)(2)(3)(1)下列说法中，正确的是_(填序号)终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限的角；第二象限的角为钝角；小于90的角一定为锐角；角与的终边关于x轴对称(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60到OB处，再按顺时针方向旋转820至OC处，则_.课堂互动探究课堂互动探究探究一与任意角有关的概念辨析解析(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400的角是第一象限的角，但不是锐角，故的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故的说法也是错误的；小于90的角不一定为锐角，比如负角，故的说法是错误的(2)AOC60(820)760，(760720)40.答案(1)(2)40方法总结判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可跟踪训练1写出图(1)，(2)中的角，的度数解题干图(1)中，36030330；题干图(2)中，36060150150，36060()36060150570.(1)下面与85012终边相同的角是()A23012B22948C12948D13012答案B解析与85012终边相同的角可表示为85012k360(kZ Z)，当k3时，850121 08022948.探究二终边相同角的表示(2)写出终边落在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来解直线yx与x轴的夹角是45，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个：45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合：S|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZS中适合360 720的元素是：452180315；451180135；45018045；451180225；452180405；453180585.方法总结在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止跟踪训练2在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.已知，如图所示(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合探究三区间角的表示及应用解(1)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30到135之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为|30k360135k360，kZ变式探究1若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解在0360范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150225，则满足条件的角为|k360150k360225，kZ变式探究2若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解由题干图可知满足题意的角的集合为|k36060k360105，kZk360240k360285，kZ|2k18060 2k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060 n180105，nZ即所求的集合为|n18060 n180105，nZ方法总结表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合1象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角2“锐角”，“090的角”，“小于90的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是090；090的角是090；小于90的角为90；第一象限的角是|k36090k360，kZ随堂本课小结随堂本课小结3关于终边相同角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和提醒：(1)为任意角；(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360()；(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；(4)kZ这一条件不能少