厦门大学高等数学课程期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A卷）1. (10分) 求抛物线与其上一点处的法线围成的平面图形的面积.解：先求出抛物线在点处的法线方程.， -2分所求的法线方程为，即. -3分则法线与抛物线的两个交点分别为 -2分于是所围平面图形的面积为. -3分y2. (10分) 半径为R(单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？Rx解：取坐标系如图，考察区间所对应的 x+dx小薄层，此薄层水重为(吨)，将此层x水提高到水池外面的距离是，因此所作的微功为， -6分要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为(吨.米) -4分3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h（千米/时）.假设减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg，着陆时的水平速度km/h，从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机滑行的距离为x(t)，速度为v(t)。 -2分根据牛顿第二定律知 ，所以 -2分两端积分得通解，代入初始条件，解得，故。-3分飞机滑行的最长距离为 。 -3分或由知，,故最长距离为当时。4. (10分) 求微分方程的通解。解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以对应齐次方程的通解为。 -3分下面分别求与的特解设方程的特解为，代入方程得，所以 -1分为求的特解，先求方程的一个特解，为此设特解为，代入方程消去得，所以 -2分即的特解为 -1分所以原方程的特解为 -1分所求微分方程的通解为。 -2分5(10分)求过点且与两个平面和的交线平行的直线的方程。解：所求直线的方向向量为两已知平面法向量的叉积。 -2分平面的法向量为， -1分平面的法向量为， -1分则所求直线的方向向量为 ， -3分由于直线过点，故所求的直线方程为。-3分6. (10分)求母线平行于轴且通过曲线的柱面方程和曲线在yoz平面上的投影曲线的方程，并求曲线绕轴旋转曲面方程，并指出该旋转曲面方程表示的是哪种曲面，画出它的简图。解：从上述两方程消去便得到母线平行于轴的柱面方程 -3分曲线在yoz平面上的投影曲线方程为 ， -2分绕轴旋转曲面方程为 ， -4分此曲面称为(旋转)单叶双曲面。 -1分7(10分) 设二元函数具有二阶连续的偏导数，,求的偏导数与二阶偏导数。 解： ， -2分由于互换x，y不改变u，v，从而不改变，所以是对称函数从而 由全微分形式的不变性得 -1分 -2分整理得所以得到 -2分 -2分互换x，y后变得 -1分8. (10分) 求曲线在点处的切线方程和法平面方程。 解：记 -2分则 -2分 -2分 -2分故所求的切线方程为，法平面为。 -2分9(10分)设函数，(1)求函数在点指向的方向导数 ;(2)问函数在处沿什么方向的方向导数最大？它的最大值是多少？ 解：(1) ， -2分 -2分故 -2分(2) 沿点处梯度方向的方向导数最大，而 -2分故 . -2分10(10分) 求函数的极值。 解：令，得驻点 -4分又 , -3分因为 ，所以 -2分在处取得极小值。 -1分4