1.2.3.4.5.【线性代数重要公式】1、行列式n行列式共有n 2个元素，展开后有n项，可分解为行列式；代数余子式的性质： 、A和的大小无关；Aij aij 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系：A （1） MM = （1+j AA = （1）i+j M设行列式D :jj j将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则1将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则2 -将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则 将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则4行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积 、上、下三角行列式（|、|=| （” I和I彳：副对角元素的乘积、拉普拉斯展开式：、n( n1)D = (1) 2 D 1n(n1)D = (1) 2 D2 _D = D 933D = D 94n（ n1）X （1） 2）:主对角元素的乘积;A O A C1 11 1 %C AO A=|a|b|、=c B O bB OB C=(1知 nn(n1丿.X (1) 2 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值；6-对于n阶行列式圖，恒有：處* “显（1s “，其中s为k阶主子式;kk7.证明园=0的方法：k 、心A 、反证法 、构造齐次方程组血=0，证明其有非零解； 、利用秩，证明心n ；、证明0是其特征值；2、矩阵1A是阶可逆矩阵：A。A o （是非奇异矩阵）； 十）=“（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；o A。齐次方程组血=0有非零解；.Rn，Ax = b总有唯一解；o A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积； o AA的特征值全不为0；o Aata是正定矩阵；o At AA的行（列）向量组是尺的一组基;o ARA是R中某两组基的过渡矩阵；o A R“=心=如无条件恒成立;(A-i)t = (At )-i(A )t = (At )*2. 对于n阶矩阵A：3.（At）* = （A*）t（AB）t = Bt At（AB）* = B* A*（ AB）-i = B-iA-i3. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代 数和；4. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若J A =r a1A2,则：b J1、A=LAll Al1 2A 1s9r a-iII、1A-1A-i =2AT丿s、r A O-1A1O 9（主对角分块）& B V 0B-1丿、OA、-1oB-9Bo丿A-1o丿f AC、-1f A-1-A-1CB-1)B丿oB-1丿f Ao、-1f A-1O CB丿、B-1CA-1B-1丿;(拉普拉斯);(拉普拉斯)、(副对角分块)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.-个m Xn矩阵4，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一 确定的：F _(E O；O O J等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类; 标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵a、b，若皿)_ r (B)。AB 2行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1 ； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变 换) 、若(A,E) L(E ,X)，则 A 可逆，且 X _ A-1 ； 、对矩阵“做初等行变化，当A变为E时，B就变成“，即：(A,(E, A-1B)、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程A_b，如果(A,b*(E,)， 则A可逆，且 _ A-ib ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：各列元素;、九2 .入n丿 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等 行矩阵、右乘为初等列矩阵；，左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘，九乘A的ii、对调两行或两列，符号e(i,j)，且e (i,j-1 = E (i,j)，例如:、倍乘某行或某列，符号e(i(k)，且E(i(k)-1 = E(i(丄) kf 11.1:例如:(k 丰 0)f 1 丄k、I1丿倍加某行或某列，符号e(jk)，且E(ij(k)-1二E(ij(-k)(k 丰 0)f 1-k1,1丿5. 矩阵秩的基本性质：、0 r (A ) min(m, n)；_mxn、r (At )二 r (A)； 、若，则 ；A Br (A) = r (B) 1 、若、可逆，则(可逆矩阵不影响矩阵Qr(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) 5的秩)、max(r(A),r(B) r(A, B) r(A) + r(B) 1；欲)r (A + B) r + r (B)、r(AB) min(r(A),r(B) 、如果A是附xn矩阵，B是n x S矩阵，且AB = 0，则：(探)I、的列向量全部是齐次方程组住=0解(转置运算后的结论);I r (A)+r (B) n 、若、b均为n阶方阵，则g , r (A) + r (B) - n ；6. 三种特殊矩阵的方幂：行矩阵(向、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量) 量)的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式;二项展开式1:(a + b)n 二 C0an + C1 an-1b1 + + Cman-mbm + + Cn-1a1bn-1 + CnbnnnnnX Cmambn-m，n7.注：l(a + b)n展开后有n +1项;II、_ n(n 一 1)(n 一 m +1)C m =_n123 mIII、组合的性质：C 0 = Cn = 1 m !(n - m)!n nCm = C n 一 mCm = Cm + Cm-1n nn+1 n n、利用特征值和相似对角化： 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：r（A*r (A)二 n ；r(A)二 n -1 9r (A) n 一 1Z Cr = 2nrCr = nCr-1nnn-1r=0n10、伴随矩阵的特征值：A廖a*=|a|A-o“的入入、A* = Aa-1、|a*| = Al，关于A矩阵秩的描述：r=n, A中有n阶子式不为0, n+1阶子式全部为0;（两句话） ,A中有n阶子式全部为0；A中有n阶子式不为0；线性方程组：Ax = b，其中A为mxn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组血b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；10.线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；n-18.9.、 、rA） n、11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、a x + a x + a x1111221nna x + a x +a x丿 2112222nn、a21a x + a x + a x = bnb)1b2m1 1 m 2(a a -12a-22.nma、1na2n.2o Ax = b（向量方程，人为mxn矩阵，m个方程，mn mbm丿I a a m1 m 2n个未知数)(a a a )12nx )1x 2=p （全部按列分块，其中p=r b)1b2);、x) 、p （线性表出）ax + a x + +a x = P1122n n 、有解的充要条件：r=“卩）n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1个 维列向量所组成的向量组.m nA个 维行向量所组成的向量组B:m nBa 构成n xm矩阵A = (a12m1矩阵B含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;、 丿 T 1 F 2 : T m 卩卩 卩 厂 J 、向量组的线性相关、无关。血0有、无非零解；（齐次线 性方程组） 、向量的线性表出。血b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o垃B是否有解；（矩阵方程） 矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组血0和 Bx 0同解；（p例14）皿=“；（p例15）n维向量线性相关的几何意义： 、a线性相关a 0 ； 、a.线性相关 a.坐标成比例或共线（平行）；a, Po a, p 、线性相关oa,pY共面；线性相关与无关的两套定理：若a,a,a线性相关，则必线性相关；12s_若a,a, a线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减2，s减，二者为对偶）若维向量组A的每个向量上添上 个分量，构成维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性 相关；（向量组的维数加加减减）2.3.4.5.6.a ,a，,a ,a12ss+1a ,a，,a12s-1简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为）能由向量组B （