2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1函数的定义域是 2方程的解是 3抛物线的准线方程是 4函数的最小正周期是 5已知向量，。若，则实数 6函数的最大值是 7复数（是虚数单位）的模是 8在中，角所对边长分别为，若，则 9在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为 D1C1B1A1DCAB10从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。11若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前项和 。1236的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13展开式为的行列式是（ ） （A） (B) (C) (D) 14设为函数的反函数，下列结论正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 15直线的一个方向向量是（ ）(A) (B) (C) (D) 16函数的大致图像是（ ）0xy0xyBA0xyC0xyD17如果，那么下列不等式成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 18若复数满足，则在复数平面上对应的点（ ） (A) 关于轴对称 (B)关于轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线对称19 的二项展开式中的一项是（ ）（A） （B） （C） （D）20既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）（A） （B） （C） （D）21若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）（A） （B） （C） （D）22设全集，下列集合运算结果为的是（ ）（A） （B） （C） （D）23已知，“”是“函数的图像恒在轴上方”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件24已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（ ）（A）圆 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25（本题满分7分）如图，在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。B1A1C1ACB26（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长米，长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。ABC27（本题满分8分）已知数列的前项和为，数列满足，求。 28（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分 已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为（1）若为等边三角形，求椭圆的方程;（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。29（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知抛物线 的焦点为。（1）点满足。当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；（2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由。30（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且 是首项为1、公比为2的等比数列，记，。（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值。P20xyAP1P3P431（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”。来源:学科网ZXXK（1）将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；（2）求函数 图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。 2013年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案一（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分1 23 3 4 5 6 57 8 7 9 10 11 12 4836 二（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分13B 14B 15D 16A 17D 18A 19C 20B 21C 22A 23D 24C三（第25至31题）25解因为 .所以为异面直线与.所成的角，即=。在Rt中，,从而,因此该三棱柱的体积为.26解如图，设矩形为, 长为米，其中，ABCFPE健身房占地面积为平方米。因为，以，,求得，从而，当且仅当时，等号成立。答：该健身房的最大占地面积为500平方米。27解当时，。且，所以。因为，所以数列是首项为1、公比为的无穷等比数列。故。28解（1）设椭圆的方程为。根据题意知， 解得，故椭圆的方程为。（2）容易求得椭圆的方程为。当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为。由 得。设，则因为，所以,即 ，解得，即。故直线的方程为或。29（1）设动点的坐标为，点的坐标为,则,因为的坐标为，所以，由得。即 解得代入，得到动点的轨迹方程为。（2）设点的坐标为.点关于直线的对称点为，则 解得若在上，将的坐标代入，得，即或。所以存在满足题意的点，其坐标为和。30解（1）设，根据题意，。由，知，而，所以，解得或。故点的坐标为或。（2）由题意，点的坐标为，。因为，所以，当且仅当，即时等号成立。易知在上为增函数，因此，当时，最大，其最大值为。31（1）平移后图像对应的函数解析式为，整理得，由于函数是奇函数，由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是。（2）设的对称中心为，由题设知函数是奇函数。设则，即。由不等式的解集关于原点对称，得。此时。任取，由，得，所以函数图像对称中心的坐标是。（3）此命题是假命题。举反例说明：函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数。修改后的真命题：“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”。