专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（解析版）类型一 反比例函数与三角形综合1（2022秋岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB30，点A在反比例函数y=6x（x0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）Ay=1xBy=2xCy=4xDy=6x思路引领：直接利用相似三角形的判定与性质得出SBCOSAOD=13，进而得出SAOD3，即可得出答案解：过点B作BCx轴于点C，过点A作ADx轴于点D，BOA90，BOC+AOD90，AOD+OAD90，BOCOAD，又BCOADO90，BCOODA，BOAO=tan30=33，SBCOSAOD=（33）2=13，点A在反比例函数y=6x上，xy6，12ADDO=12xy3，SBCO=12BCCO=13SAOD1，经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=2x故选：B总结提升：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出SAOD2是解题关键2（2022秋金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO中，AO=3，将ABO绕点O点旋转至ABO的位置，且A在OB的中点，B在反比例函数y=kx上，则k的值为 思路引领：连接AA，作BEx轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出AOA是等边三角形，从而得出AOBAOB60，即可得出BOE60，解直角三角形求得B的坐标，进一步求得k3解：连接AA，作BEx轴于点E，由题意知OAOA，A是OB中点，AOBAOB，OBOB，AA=12OBOA，AOA是等边三角形，AOB60，OB2OA23，BOE60，OB23，OE=12OB=3，BE=3OE3，B（1，3），B在反比例函数y=kx上，k133故答案为：3总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答3（2022秋荔湾区校级期末）如图，ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BCx轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CDy轴交双曲线于点D，若SBCD16，则k的值是 思路引领：过点A作AEy轴，交BC与点E，设点A（a，ka）则B（a，ka），可表示出BC和DC的长度，又SBCD=12BCCD16，即可求出k的值解：过点A作AEy轴，交BC与点E，设点A（a，ka）则B（a，ka），BE2a，ABC是等腰三角形，底边BCx轴，CDy轴，BC4a，点D的横坐标为3a，点D的纵坐标为k3a，CD=k3a+ka=4k3a，SBCD=12BCCD16，124a4k3a=16，k6，故答案为：6总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出BC和CD的长度是解决本题的关键4（2023南海区校级模拟）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1A1A2A2A3A3A4A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2x(x0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022 思路引领：设OA1A1A2A2A3A3A4A4A5m，利用反比例的解析式和反比例函数图象上点的坐标的特征求得点P1，P2，P3，P4，P5的坐标（用含m的代数式表示），进而得到每个小直角三角形的高，依据每个小直角三角形的底均为m，利用三角形的面积公式即可求得S1，S2，S3，S4，S5的值，依此规律即可得出结论解：设OA1A1A2A2A3A3A4A4A5m，则P1（m，2m），P2（2m，22m），P3（3m，23m），P4（4m，24m），P5（5m，25m），P1A1=2m，P2A2=22m，P3A3=23m，P4A4=24m，P5A5=25m，S1=12m2m=1，S2=12m22m=12，S3=12m23m=13，S4=12m24m=14，S5=12m25m=15，由此可得S2022=12m22022m=12022，故答案为：12022总结提升：本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度得到相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键5（2022秋桥西区校级期末）如图，一次函数y1k1x+b的图像与反比例函数y2=k2x(x0)的图像相交于A（m，6），B（6，1）两点，且与x轴，y轴交于点M，N（1）填空：k2 ；m ；在第一象限内，当y1y2时，x的取值范围为 ；（2）连接OA，OB，求AOB的面积；（3）点E在线段AB上，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图像于点F，若EF2，求点F的坐标思路引领：（1）先把B（6，1）代入y2=k2x(x0)可求出k26，再把A（m，6）代入y2=6x，求得m1，再结合图象可判断出x的取值范围；（2）根据SAOBSAOMSBOM可求解；（3）设设点E的坐标为（a，a+7），则点F的坐标为（a，6a），构建方程求出a的值即可解：（1）把B（6，1）代入y2=k2x(x0)得，1=k26k26，反比例函数解析式为y2=6x，把A（m，6）代入y2=6x，得m1，A（1，2），由图象得，在第一象限内，当y1y2时，x的取值范围为1x6故答案为：6；1；1x6；（2）把A（1，6）和B（6，1）代入y1k1x+b中，得k1+b=66k1+b=1，解得k1=1b=7，直线AB的表达式为y1x+7，当y0时，x7M（7，0），SAOB=SAOMSBOM=12OM|yA|12OM|yB|=352；（3）设点E的坐标为（a，a+7），则点F的坐标为(a，6a)，EF=a+76a，又EF2，a+76a=2，解得a12，a23，点F的坐标为（2，3）或（3，2）总结提升：本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键6（2022秋龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC沿x轴平移（边AB在x轴上，点C在x轴上方），其中A（a，0），三角形ABC与反比例函数y=23x（x0）交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：（1）第一小组提出“当a2时，求点D的坐标”；（2）第二小组提出“若ADCE，求a的值”；（3）第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60至点E，点E恰好也在y=23x（x0）上，求a的值”思路引领：（1）过点C作CFAB交于点F，根据等边三角形的性质可求C（3，3），再由待定系数法求出直线AC的解析式，直线AC与反比例函数的交点即为D点；（2）过点C作CFAB交于点F，则C（a+1，3），B（a+2，0），通过联立方程求出D、E点坐标，再由ADCE，建立方程求出a的值即可；（3）连接CE，通过证明ACEABE（SAS），可得ABEC，求出E（a2+4a41，3），再由E点在反比例函数图象上，求出a的值即可解：（1）当a2时，A（2，0），过点C作CFAB交于点F，ABC是等边三角形，CAB60，C（3，3），设直线AC的解析式为ykx+b，2k+b=03k+b=3，解得k=3b=23，y=3x23，当3x23=23x时，解得x1+3或x13（舍），D（1+3，33）；（2）过点C作CFAB交于点F，ABC是等边三角形，CAB60，C（a+1，3），B（a+2，0），可求直线AC的解析式为y=3x3a，直线BC的解析式为y=3x+3a+23，当3x3a=23x时，解得x=a+a2+82或x=aa2+82（舍），D点横坐标为a+a2+82，AD=a+a2+821cos60=a+a2+8当3x+3a+23=23x时，解得x=a+2+a2+4a42或a+2a2+4a42（舍），E点的横坐标是a+2+a2+4a42，BE=a+2a2+4a421cos60=a+2a2+4a4，ADCE，a+a2+8=2a2+a2+4a4，解得a3；（3）连接CE，AEAE，ACAB，CAEBAE，ACEABE（SAS），ACEABE60，EBEC，CAB60，ABEC，C（a+1，3），BEa+2a2+4a4，E（a2+4a41，3），E在函数y=23x上，3（a2+4a41）23，解得a2+17或a217（舍），a2+17总结提升：本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键7（2022秋南山区期末）如图：AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，SOAB4，一次函数y1kx+b（k0）的图象经过点A交y轴于点C，反比例函数y2=kx（x0）的图象也经过点A（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD2AD，求COD的面积；（3）当y1y2时对应的自变量的取值范围是 （请直接写出答案）思路引领：（1）过点A分别作AMx轴于M，根据三角形面积求得OA，进而即可求得A的坐标，利用待定系数法从而得出答案；（2）通过证得OCDMAD，得出OC的长，即可求得点C的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式，进而求得点D的坐标，再利用三角形面积公式可得答案；（3）根据图象即可求解解：（1）过点A分别作AMy轴于M，ANx轴于N，AOB是等腰直角三角形，OAAB，OAB90，AOB45，SOAB4，12OAAB=12OA24，OA22，AMOM2，点A（2，2），反比例函数y2=kx（x0）的图象经过点A，k224，反比例函数的解析式为y2=4x；（2）AMy轴于M，AMOC，OCDMAD，OCAM=CDAD，CD2AD，OC2AM4，C（0，4），一次函数y1ax+b（a0）的图象经过点C、D，2a+b=2b=4，解得