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(新教材)北师大版精品数学资料A.基础达标1以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2y22x6y90的圆心的抛物线的方程是()Ay3x2或y3x2By3x2Cy29x或y3x2Dy3x2或y29x解析:选D.圆的方程可化为(x1)2(y3)21,圆心为(1,3),由题意可设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)把(1,3)代入得92p或16p,所以p或p,所以y29x或x2y.2设M(x0,y0)为抛物线C:x28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2,) D2,)解析:选C.圆心到抛物线准线的距离为p4,根据题意只要|FM|4即可,由抛物线定义,|FM|y02,由y024,解得y02,故y0的取值范围是(2,)3已知抛物线y22px(p0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于()A4 B4Cp2 Dp2解析:选B.当AB的斜率为k时,AB所在的直线方程为yk,代入y22px得:k2x2(k2p2p)x0.根据根与系数的关系可得y1y2k2p2,故4.当AB斜率不存在时,即ABx轴,易得4.4过抛物线yax2(a0)的焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p,q,则等于()A2a B.C4a D.解析:选C.设直线方程为ykx,代入yax2,得ax2kx0.由根与系数的关系可得py1kx1,qy2kx2,所以4a.5已知抛物线yx2上有一定点A(1,1)和两动点P、Q,当PAPQ时,点Q的横坐标的取值范围是()A(,3 B1,)C3,1 D(,31,)解析:选D.设P(x0,x),Q(x,x2),其中x01,xx0,则(1x0,1x),(xx0,x2x),因为PAPQ,所以0.所以(1x0)(xx0)(1x)(x2x)0,即1(1x0)(xx0)0,所以xx0(1x0)1,当x01时,1x0(x01)2,当且仅当x02时,等号成立,所以x213,故点Q的横坐标的取值范围是(,31,)6将两个顶点在抛物线y22px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则n_解析:根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴,又过焦点且与x轴的夹角为30的直线有两条,故符合题意的正三角形有两个答案:27已知点A、B是抛物线y24x上的两点,O是坐标原点,0,直线AB交x轴于点C,则|_解析:设A、B的坐标分别为、,因为0,所以y1y20,即y1y216.AB所在的直线方程为yy1(x)(x),令y0,得x4.答案:48已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x相交于A、B两点,F为抛物线的焦点,若|FA|3|FB|,则k的值为_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20)为抛物线C:y22px(p0)上一点,F为抛物线C的焦点,且|MF|5.(1)求抛物线C的方程;(2)MF的延长线交抛物线于另一点N,求N的坐标解:(1)因为|MF|35,所以p4,所以抛物线方程为y28x.(2)由题意知MF不垂直于x轴,故设MF所在直线方程为yk(x2),联立得k2x2(4k28)x4k20,由根与系数的关系得xMxN4,因为xM3,所以xN.因为N为MF的延长线与抛物线的交点,由图像可知yN0)的准线与圆x2y24y50相切,则p的值为()A10 B6C. D.解析:选C.抛物线方程可化为x2y(p0),由于圆x2(y2)29与抛物线的准线y相切,所以32,所以p.2如图,F为抛物线y24x的焦点,A,B,C在抛物线上,若0,则|()A6 B4C3 D2解析:选A.设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC由0得xAxBxC3,所以|xAxBxC336.3已知抛物线y24x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|MN|,则NMF_解析:过点N作准线的垂线交准线于点N1,则cos NMFcos N1NM,故NMF.答案:4已知抛物线C:y22x的焦点为F,抛物线C上的两点A,B满足2.若点T,则的值为_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),(y10,y20)因为点P(1,2)在抛物线上,所以222p1,解得p2.所以所求抛物线的方程是y24x,准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA,kPB,因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPAkPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得所以,所以y12(y22),所以y1y24.由得直线AB的斜率为1.6(选做题)已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上若点A(1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程解:依题设抛物线C的方程可写为y22px(p0),且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为ykx(k0),设A,B分别是A,B关于l的对称点,因而AAl,直线AA的方程为y(x1),由联立解得AA与l的交点M的坐标为.又M为AA的中点,从而点A的横坐标为xA21,纵坐标为yA20.同理得点B的横、纵坐标分别为xB,yB.又A,B均在抛物线y22px(p0)上,由得2p,由此知k1,即p.同理由得2p即p.从而,整理得k2k10,解得k1,k2.但当k时,由知xA0)上矛盾,故舍去k2.所以k,则直线l的方程为yx.将k代入,求得p.所以直线方程为yx.抛物线方程为y2x.
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