2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题6.4 数列求和与数列综合目录一、题型全归纳1题型一 分组转化求和1题型二 错位相减法求和3题型三 裂项相消法求和6题型四 并项求和8题型五 数列与其他知识的交汇9类型一数列与不等式的交汇问题9类型二数列与三角函数的综合10类型三数列与函数的综合11类型四数列中的新定义问题12类型五数列中的新情境问题13二、高效训练突破14一、题型全归纳题型一 分组转化求和【题型要点】分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和 【例1】(2020山东五地5月联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2S2x20的解集为(1，2)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bna2n2an1，求数列bn的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为关于x的不等式a1x2S2x20，a1)loga(n1)loganan为等差数列，公差为d(d0)，(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等【例1】(2020江西八所重点高中4月联考)设数列an满足a11，an1(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)证明：因为an1，所以，为常数因为a11，所以1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列(2)由(1)知1(n1)()，所以an2，所以bn11()，所以Tnb1b2b3bnn(1)n(1)n，所以数列bn的前n项和Tnn.【例2】(2020石家庄模拟)已知数列an是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.【答案】【解析】(1)设数列an的公比为q.由a2a312，a11，得qq212，解得q3或q4.因为数列an的各项都为正数，所以q0，所以q3，所以an3n1.(2)因为bn，所以Sn.题型四 并项求和【题型要点】用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(1)n”；三是数列an是周期数列【易错提醒】运用并项求和法求数列的前n项和的突破口是会观察数列的各项的特征，如本题，数列bn的通项公式为bn(1)n，易知数列bn是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并【例1】(2020福建宁德二检)已知数列an的前n项和Snn22kn(kN*)，Sn的最小值为9.(1)确定k的值，并求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n1项和T2n1.【答案】见解析【解析】：(1)由已知得Snn22kn(nk)2k2，因为kN*，则当nk时，(Sn)mink29，故k3.所以Snn26n.因为Sn1(n1)26(n1)(n2)，所以anSnSn1(n26n)(n1)26(n1)2n7(n2)当n1时，S1a15，满足an2n7，综上，an2n7.(2)依题意，得bn(1)nan(1)n(2n7)，则T2n1531135(1)2n(4n7)(1)2n12(2n1)7552n.【例2】(2020河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列an中，a33，a22，a4，a62成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，数列bn的前n项和为Sn，求S2n.【答案】见解析【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为a22，a4，a62成等比数列，所以a(a22)(a62)，所以(a3d)2(a3d2)(a33d2)，又a33，所以(3d)2(5d)(13d)，化简得d22d10，解得d1，所以ana3(n3)d3(n3)1n.(2)由(1)得，bn(1)n(1)n()，所以S2nb1b2b3b2n(1)()()()1.题型五 数列与其他知识的交汇类型一数列与不等式的交汇问题【例1】(2020广东深圳二模)设Sn是数列an的前n项和，且a13，当n2时，有SnSn12SnSn12nan，则使得S1S2Sm2 019成立的正整数m的最小值为_【答案】1 009【解析】因为SnSn12SnSn12nan(n2)，所以SnSn12SnSn12n(SnSn1)(n2)，所以(2n1)Sn1(2n1)Sn2SnSn1(n2)易知Sn0，所以2(n2)令bn，则bnbn12(n2)，又b11，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，所以bn2n1，所以2n1，所以Sn.所以S1S2Sm32m12 019，所以m1 009.即使得S1S2Sm2 019成立的正整数m的最小值为1 009.【题后升华】解决本题的关键：一是细观察、会构造，即通过观察所给的关于Sn，an的关系式，思考是将Sn往an转化，还是将an往Sn转化；二是会解不等式，把求出的相关量代入已知不等式，转化为参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的最小值 类型二数列与三角函数的综合【例2】(2020安徽安庆4月联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若等差数列an的公差不为零，a1sin A1，且a2，a4，a8成等比数列，bn，求数列bn的前n项和Sn