考点51：单调性中的分类讨论【思维导图】【常见考法】考法一：导函数为一根1若定义在上的函数，求函数的单调区间；【答案】见解析.【解析】函数，求导得到，当时，函数在上单调递增；当时，由，得到，所以时，单调递减，时，单调递增，综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；2已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】，当时，在上单调递减.当时，令，得；令，得.的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.的单调递减区间为，单调递增区间为.3设函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】由题意得，.当时，故函数在区间上单调递增；当时，在区间上，在区间上，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.4设函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】函数的定义域为，.当，即时，函数在上单调递增. 当时，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.考法二：导函数为两根且能因式分解1已知函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以.令，解得或.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.若，则，当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.2已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以，即.由，得，.当时，当且仅当时，等号成立.故在为增函数.当时，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.当时，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.综上，当时，在为增函数；当时，在，为增函数，在为减函数；当时，在，为增函数，在为减函数.3已知函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】.若，当时，即在上单调递增；当时，即在上单调递减.若，当时，即在（，上均单调递增；当时，即在上单调递减.若，则，即在上单调递增.若，当时，即在，上均单调递增；当时，即在上单调递减.4.已知函数，求函数的单调区间【答案】见解析【解析】函数的定义域为若，所以函数的单调递增区间为；若，令，解得，当时，的变化情况如下表单调递增极大值单调递减函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的变化情况如下表单调递增极大值单调递减函数的单调递增区间是，单调递减区间是综上所述：，的单调递增区间为；，单调递增区间是，单调递减区间是；，单调递增区间是，单调递减区间是5设函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由题意得，当时，当；当时，；在单调递减，在单调递增，当时，令得，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；当时，所以在单调递增，当时，；当时，；当时，；在单调递增，在单调递减；6已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】函数的定义域为，若，则，在单调递增. 若，则由得. 当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增. 若，则由得.当时，；当时，故在单调递减，在单调递增. 考法三：不能因式分解的导函数1已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】的定义域为，对于，当时，则在上是增函数.当时，对于，有，则在上是增函数.当时，令，得或，令，得，所以在，上是增函数，在上是减函数.综上，当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.2已知函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】由得： 定义域为令，则当，即时，则，即在上单调递减当，即时，令，解得：，当时，当和时，即；当时，即在，上单调递减；在上单调递增当时，当时，即；当时，即在上单调递增，在上单调递减