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第第19章矩形、菱形与正方形章矩形、菱形与正方形专题强化训练(七)专题强化训练(七)训练训练1特殊平行四边形的折叠问题特殊平行四边形的折叠问题类型类型1 矩形的折叠问题矩形的折叠问题1.长春二道区月考长春二道区月考 如图,将一张矩形纸片如图,将一张矩形纸片ABCD沿沿EF折折叠,使叠,使 C,A两点重合,点两点重合,点D落在点落在点G处处.已知已知AB4,BC8.1234567(1)求证:)求证:AEF是等腰三角形;是等腰三角形;(1)证明:由折叠的性质可得)证明:由折叠的性质可得AEFCEF,四边形四边形ABCD是矩形,是矩形,ADBC,AFECEF,AEFAFE,AEAF,AEF是等腰三角形是等腰三角形.(2)线段)线段FD的长为的长为3.312345671.长春二道区月考长春二道区月考 如图,将一张矩形纸片如图,将一张矩形纸片ABCD沿沿EF折折叠,使叠,使 C,A两点重合,点两点重合,点D落在点落在点G处处.已知已知AB4,BC8.2.如图,在矩形如图,在矩形ABCD中,点中,点E在边在边CD上,将上,将BCE沿沿BE折叠,折叠,点点C落在边落在边AD上的点上的点F处,过点处,过点F作作FGCD交交BE于点于点G,连结连结CG.(1)求证:四边形)求证:四边形CEFG是菱形;是菱形;(1)证明:由折叠的性质可得)证明:由折叠的性质可得BECBEF,FECE.1234567FGCD,FGECEB,FGEFEG,FGFE,FGEC,又又FGCE,四边形四边形CEFG是平行四边形是平行四边形.FGFE,四边形四边形CEFG是菱形是菱形.1234567(2)若)若AB6,AD10,求四边形,求四边形CEFG的面积的面积.12345672.如图,在矩形如图,在矩形ABCD中,点中,点E在边在边CD上,将上,将BCE沿沿BE折叠,折叠,点点C落在边落在边AD上的点上的点F处,过点处,过点F作作FGCD交交BE于点于点G,连结连结CG.12345673.吉林期中吉林期中 如图,四边形如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点折叠,点B落在点落在点E处,处,CE与与AD相交于点相交于点O.(1)求证:)求证:OAOC;(1)证明:)证明:四边形四边形ABCD是矩形,是矩形,ADBC,DACBCA.由折叠,得由折叠,得BCAECA,DACECA,OAOC.1234567(2)若)若AB4,BC8.求求OAC的面积;的面积;OE的长为的长为3.312345673.吉林期中吉林期中 如图,四边形如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点折叠,点B落在点落在点E处,处,CE与与AD相交于点相交于点O.类型类型2 菱形的折叠问题菱形的折叠问题4.无锡月考无锡月考 如图,在边长为如图,在边长为6的菱形的菱形ABCD中,中,ABAC,E、F分别是边分别是边BC、AB上的点,连结上的点,连结EF.将将B沿沿EF翻折,使翻折,使点点B的对应点的对应点B落在落在AC的中点上,此时四边形的中点上,此时四边形BEBF是什是什么四边形?说明理由么四边形?说明理由.解:四边形解:四边形BEBF是菱形,理是菱形,理由如下:如图,连结由如下:如图,连结BB,12345671234567由翻折可得由翻折可得BEBE,EBFABC60,EBBEBB30,BEC60,BECEBF,ABCBEC,FBBC,FBEB,四边形四边形BEBF是平行四边形是平行四边形.又又BEBE,四边形四边形BEBF是菱形是菱形.12345675.晋中期末晋中期末 如图,在菱形如图,在菱形ABCD中,中,A60,AB6,点,点P为为AD边上一动点(不与点边上一动点(不与点A,D重合),将重合),将ABP沿沿BP折折叠,得到叠,得到EBP,BE交菱形的一边于点交菱形的一边于点F,PE所在直线交所在直线交CD所在直线于点所在直线于点M.1234567(1)如图)如图,当点,当点E在在AD上方上方时,时,AP的长的取值范围为的长的取值范围为0AP3;0AP3(2)若)若BECD,如图,如图,求证:,求证:MCPE.证明:由折叠可得证明:由折叠可得EA60,BECD,MFE90.FME30.DMP30.在菱形在菱形ABCD中,中,A60,易得易得D120,DPM180DDMP1801203030,12345675.晋中期末晋中期末 如图,在菱形如图,在菱形ABCD中,中,A60,AB6,点,点P为为AD边上一动点(不与点边上一动点(不与点A,D重合),将重合),将ABP沿沿BP折折叠,得到叠,得到EBP,BE交菱形的一边于点交菱形的一边于点F,PE所在直线交所在直线交CD所在直线于点所在直线于点M.DPMDMP,DPDM.在菱形在菱形ABCD中,中,ADDC,ADDPDCDM,即,即APMC,由折叠可得由折叠可得APPE,MCPE.1234567类型类型3 正方形的折叠问题正方形的折叠问题6.如图,将边长为如图,将边长为4的正方形的正方形ABCD折叠,使得点折叠,使得点A落在落在CD边边上的点上的点E处,点处,点B落在点落在点B处,折痕为处,折痕为GF,FHBC于点于点H,FG5,连结,连结AE.1234567(1)求证:)求证:GHFEDA;(1)证明:由折叠的性质得)证明:由折叠的性质得FGAE,FAEAFG90,由题易得由题易得FHAD,GFHAFG90.GFHFAE.四边形四边形ABCD是正方形,是正方形,ADEC90,ADDC,123456712345676.如图,将边长为如图,将边长为4的正方形的正方形ABCD折叠,使得点折叠,使得点A落在落在CD边边上的点上的点E处,点处,点B落在点落在点B处,折痕为处,折痕为GF,FHBC于点于点H,FG5,连结,连结AE.7.【创新题创新题】综合与实践综合与实践有一正方形纸片有一正方形纸片ABCD.第一步:如图第一步:如图,将正方形纸片,将正方形纸片ABCD沿两条对沿两条对角线分别折叠,然后展平,得到折痕角线分别折叠,然后展平,得到折痕AC,BD.折折痕痕AC,BD相交于点相交于点O.1234567第二步:如图第二步:如图,将正方形纸片,将正方形纸片ABCD折叠,使点折叠,使点B的对应的对应点点E恰好落在恰好落在AC上,然后展平,得到折痕上,然后展平,得到折痕AF,AF与与BD相相交于点交于点G,连结,连结GE,EF.(1)AGD的度数是的度数是67.5;67.57.【创新题创新题】综合与实践综合与实践有一正方形纸片有一正方形纸片ABCD.第一步:如图第一步:如图,将正方形纸片,将正方形纸片ABCD沿两条对角沿两条对角线分别折叠,然后展平,得到折痕线分别折叠,然后展平,得到折痕AC,BD.折痕折痕AC,BD相交于点相交于点O.1234567第二步:如图第二步:如图,将正方形纸片,将正方形纸片ABCD折叠,使点折叠,使点B的对应点的对应点E恰好落在恰好落在AC上,然后展平,得到折上,然后展平,得到折痕痕AF,AF与与BD相交于点相交于点G,连结,连结GE,EF.(2)请判断四边形)请判断四边形BGEF的形状,并说明理由;的形状,并说明理由;12345671234567AFBAGD67.5,BGFAGD,AFBBGF,BGBF,BGEF,四边形四边形BGEF是平行四边形,是平行四边形,又又BFEF,四边形四边形BGEF是菱形是菱形.7.【创新题创新题】综合与实践综合与实践有一正方形纸片有一正方形纸片ABCD.第一步:如图第一步:如图,将正方形纸片,将正方形纸片ABCD沿两条对角线分别折叠,然后沿两条对角线分别折叠,然后展平,得到折痕展平,得到折痕AC,BD.折痕折痕AC,BD相交于点相交于点O.1234567第二步:如图第二步:如图,将正方形纸片,将正方形纸片ABCD折叠,使点折叠,使点B的对应的对应点点E恰好落在恰好落在AC上,然后展平,得到折痕上,然后展平,得到折痕AF,AF与与BD相相交于点交于点G,连结,连结GE,EF.
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