资源预览内容
第1页 / 共16页
第2页 / 共16页
第3页 / 共16页
第4页 / 共16页
第5页 / 共16页
第6页 / 共16页
第7页 / 共16页
第8页 / 共16页
第9页 / 共16页
第10页 / 共16页
亲,该文档总共16页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第1.3.1节 单调性与最大(小)值NBA火箭队中锋姚明身高到底多少?2米26!相信这一点大家不难回答.我们也可以相信姚明并不是从一出生就是2米26的,他也是随着时间的增加而逐渐长高的!那么姚明的身高与时间有什么关系呢?他们之间的关系如果用数学语言又该如何描述呢?研习教材重难点研习点1. 增函数与减函数1.增函数与减函数的概念(重点)一般地,设函数的定义域为:增函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数(increasing function).如右图所示.减函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数(decreasing function).如右图所示.从增函数的定义可以看出, 函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数.例如函数(如右图),当0,+)时是增函数,当(-,0)时是减函数.函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.另外,在某个区间上的两个自变量与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的,而对于减函数而言, “此消彼长”的. 单调性的定义的等价形式:设,那么(1)在是增函数;在是减函数;(2)在是减函数.2单调性与单调区间(难点)若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面:函数的单调区间是其定义域的子集;增函数、减函数、单调函数是对整个定义域而言.有的函数不是单调函数,但在某个区间上可以有单调性. 因此说函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念.应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如右图中,在那样的特定位置上,虽然使得,但显然此图象表示的函数不是一个单调函数;除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的定义类似上述的定义,只要将上述定义中的“, ”改为“ 或,”即可;定义的内涵与外延:内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况;外延:一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.思考:函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数在区间D上单调”与“区间D是函数的单调区间”这两句话,你认为一样吗?【辨析比较】 单调区间的书写要求 由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为在区间上是增(减)函数.例如在区间上是减函数,在区间上也是减函数,但不能说它在定义域上是减函数.事实上,若取,有,这是不符合减函数的定义的.典例1. 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理,图(1)中 f(x)的单调区间有,(1,0),.其中在 和 上是减函数,在(1,0)和 上是增函数.图(2)中 g(x)的单调区间有和,其中在和 上都是减函数.以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性,是一种比较粗略的方法,那么,对于任给函数,我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢?3单调性的判断与证明(难点)用定义法判断或证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的方法步骤:(1) 任取x1,x2D,且x1x2;(2) 作差f(x1)f(x2);(3)变形(通常是因式分解和配方);(4) 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);(5) 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).【梳理总结】 判断函数的单调性常用的结论(1)函数与的单调性相反;(2)当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反;(3)函数与函数(为常数)的单调性相同;(4)当(为常数)时,与的单调性相同;当(为常数)时,与的单调性相反;(5)函数、都是增(减)函数,则仍是增(减)函数;(6)若且与都是增(减)函数,则也是增(减)函数;若且与都是增(减)函数,则也是减(增)函数;(7)设,若在定义域上是增函数,则、都是增函数,而是减函数.典例2. 讨论函数的单调性.【研析】定义域 x|-1x1 在-1,1上任取x1,x2且x1x2则,从而-= = 另外,恒有若-1x1x20 则 x1+x20 则- 若 x10 则- 在-1,0上f(x)为增函数,在0,1上为减函数.4.复合函数的单调性关于复合函数的单调性.如果函数在区间上定义,若为增函数, 为增函数,则为增函数; 若为增函数, 为减函数,则为减函数; 若为减函数, 为减函数,则为增函数; 若为减函数, 为增函数,则为减函数.关于分段函数的单调性.若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件: 【梳理总结】 从图象上看出函数的单调性 利用图像判断函数的单调性时,如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是上升的,那么就说函数在这一区间上是增函数,这个区间就是它的单调递增区间.如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是下降的,那么就说函数在这一区间上是减函数,这个区间就是它的单调递减区间.典例3.已知若试确定的单调区间和单调性【研析】该题考察了复合函数的单调性.要记住“同向增、异向减”的规则.函数的定义域为R,分解基本函数为和.显然在上是单调递减的,上单调递增;而在上分别是单调递增和单调递减的.且,根据复合函数的单调性的规则:所以函数的单调增区间为;单调减区间为.研习点2.函数的最大值与最小值最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x)M; 存在x0I,使得f(x0) = M. 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.注意: 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0I,使得f(x0) = M; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M).【探究发现】 判断函数的最大(小)值的方法 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 典例4.当时,求函数的最小值【研析】函数图象的对称轴为方程为从而当,即时,是的递增区间,;当,即时,是的递减区间,;当,即时,从而探究解题新思路 基础思维探究题型一 单调性的判断典例1.判断下列函数的单调性:(1); (2).【研析】(1) ,其图象如右图所示:由函数的图象可知,函数在上是增函数,在上是减函数.(2) ,其图象如右图所示:由函数的图象可知,函数在、上是增函数,在、上是减函数.【总结与点评】研究函数的单调性的方法主要有图象法、定义法以及利用已知函数的单调性,数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想.本题中所给出的两个小题的函数式中均含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数转化为分段函数,再画出函数的图象,通过函数的图象观察函数的单调性.【拓展变式】1.判断函数的单调性.题型二 单调性的证明典例2. 利用单调性的定义证明函数在(,+)上是减函数.【研析】证法一:对任意,即,是减函数.证法二: 对任意当时,有当时,有,即,是减函数.证法三: 对任意当时,有,又,即,在(-,0上是减函数.同理,在0,+)上是减函数在(,+)是减函数.反思领悟 用定义证明函数单调性时,应注意证明的四个步骤是:设,是给定区间内的任意两个值,且;作差,并将此差式变形(要注意变形的程度);判断的正负(要注意说理的充分性);根据的符号确定其增减性.【拓展变式】2. 讨论函数f(x)=(a0)在x(1,1)上的单调性题型三 求函数的单调区间典例3. 设函数f(x)(ab0),求f(x)的单调区间,判断并证明f(x)在其单调区间上的单调性.【研析】在定义域内任取x1x2,f(x1)f(x2),ab0,ba0,x1x20,只有当x1x2b或bx1x2时函数才单调当x1x2b或bx1x2时f(x1)f(x2)0f(x)在(b,)上是单调减函数,在(,b)上是单调减函数反思领悟 本小题主要考查了函数单调性的基本知识.对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间. 解决本类问题的关键在于利用单调性的定义,在验证函数的单调性的同时加以判断【拓展变式】3. 讨论函数f(x)=(a)在(2,+)上的单调性,并加以证明题型四 复合函数的单调性典例4.求函数的单调区间.【研析】由得函数的定义域为设,从而当时,函数是增函数,而函数为单调增函数,故是函数的单调增区间;当从而当时,函数是减函数,而函数为单调增函数,故是函数的单调减区间.思维指南 本题说明了判断复合函数单调性的方法,即若为增函数,则复合函数的单调性与的单调性一致;若为减函数,则复合函数的单调性与的单调性相反;即“同增异减”.另外,在判断复合函数的单调性时,一定要求注意函数的定义域.【拓展变式】4.求函数的单调区间.题型五 函数单调性的应用典例5.(2002年全国)设a为实数,函数f(x)=x2+|xa|+1,xR, 求f(x)的最小值.【研析】当xa时,函数f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+.若a,则函数f(x)在上单调递减,从而,函数f(x)在上的最小值为f(a)=a2+1.若a,则函数f(x)在上的最小值为f()=+a,且f()f(a).当xa时,函数f(x)=x2+xa+1=(x+)
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号