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第7章 第4节知能训练提升考点一:曲线和方程的概念1命题p:曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解;命题q:曲线C是方程f(x,y)0的曲线则p成立是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案:B2方程(x24)20表示的图形是()A两条直线 B两个点C四个点 D四条直线解析:方程等价于x24且y24,即x2且y2,即.故方程表示四个点,选C.答案:C3设命题甲:点P的坐标适合方程F(x,y)0,命题乙:点P在曲线C上,命题丙:点Q坐标不适合 F(x,y)0,命题丁:点Q不在曲线C上,已知甲是乙的必要条件,但不是充分条件,那么丙是丁的_条件解析:依题意可知曲线C上的点都满足方程,但满足方程F(x,y)0的解为坐标的点不一定都在曲线C上,那么逆否命题不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上,从而丙是丁的充分条件,但不是必要条件答案:充分不必要考点二:曲线的交点问题4如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线yx22x3没有交点,那么实数a的取值范围是_答案:a5对任意实数k,直线ykxb与椭圆(02),恒有公共点,则b的取值范围是_答案:1,3考点三:轨迹问题6由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB60,则动点P的轨迹方程为_答案:x2y247已知点F,P点在直线y4上方,到点F和直线y4的距离之和为.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设动点P的轨迹是C,曲线C交y轴于点M,在曲线C上是否存在两点A、B使AMB.解:(1)解法一:如右图,设P点坐标为(x,y),过P作PQ垂直直线y4,垂足为Q,根据题意|PF|PQ|,即y4.整理得x2y(y4)解法二:由|PF|FQ|可观察出|PF|与P点到直线y的距离相等,则P点在以F为焦点,O(0,0)为顶点的抛物线x22py(p0)上,即p.x2y.又P在y4上方,则y4,即所求点P的轨迹方程为x2y(y4)(2)曲线C与y轴交点M(0,0),M即原点O.设A(x1,x),B(x2,x),kOAx1,kOBx2,kOAkOBx1x21.取x11,则x21.A(1,1),B(1,1)使kOAkOB1,即AMB.8已知点A(a,0)(a4),点B(0,b)(b4),直线AB与圆x2y24x4y30相交于C,D两点,且|CD|2.(1)求(a4)(b4)的值;(2)求线段AB中点M的轨迹方程解:(1)直线bxayab0与圆(x2)2(y2)25相交,且|CD|2,得圆心到直线AB的距离d2,2.化为ab84a4b0,(a4)(b4)8.(2)设M(x,y),则由(1)得(2x4)(2y4)8,(x2)(y2)2 (x2,y2)为所求M点的轨迹方程.1.(2008北京)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析:解法一:设P点坐标为(x,y),根据题意列方程得:(x1)1(x0)化简得y28x为抛物线解法二:点P到直线x2的距离与到点(2,0)的距离相等,则点P的轨迹为抛物线答案:D2(2008浙江)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足若点P在平面内运动,使得ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线解析:P到AB距离为定值,即P在空间中的轨迹为圆柱截圆柱为椭圆,P在内轨迹为椭圆答案:B3(2009宁夏、海南)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由已知得解得a4,c3,所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x,y),其中x4,4由已知2及点P在椭圆C上可得2,整理得(1629)x2162y2112,其中x4,4()时,化简得9y2112,所以点M的轨迹方程为y(4x4),轨迹是两条平行于x轴的线段()时,方程变形为1,其中x4,4当0时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分;当1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足4x4的部分;当1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.已知圆的方程x2y24,若抛物线过点A(0,1),B(0,1)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(x0) D.1(x0)解析:设抛物线的焦点为F,则由抛物线定义知,抛物线上点A、B到焦点F的距离等于它们到准线的距离,即|AF|AA|,|BF|BB|,其中|AA|、|BB|分别表示A、B到准线的距离,设O为切点,则OO是梯形AABB的中位线,|AA|BB|2|OO|2r224,|AF|BF|4.F点轨迹是以A、B为焦点2a4,2c2(2a2c)的椭圆又点在y轴上时,不成立,从而方程为1(x0)答案:C
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