第一章 非线性方程和方程组的数值解法1）二分法的基本原理，误差：2）迭代法收敛阶：，若则要求3）单点迭代收敛定理：定理一：若当时，且，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设满足：时，则对任意初值迭代收敛，且：定理三：设在的邻域内具有连续的一阶导数，且，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设在根的邻域内充分可导，则迭代格式是P阶收敛的（Taylor展开证明）4）Newton迭代法：，平方收敛5）Newton迭代法收敛定理：设在有根区间上有二阶导数，且满足：；：；：初值使得；则Newton迭代法收敛于根。6）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改：已知根的重数r(Newton下山法)，（平方收敛）：未知根的重数：，为的重根，则为的单根。6）截弦法单点：双点（快速）：7）迭代加速收敛方法(艾特金（Aitkem)加速)：当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数，平方收敛第二章 线性代数方程组数值解法1）向量范数：非负性：，且的充要条件是；：齐次性：三角不等式：1范数：2范数：范数：p范数：2）矩阵范数：非负性：，且的充要条件是；：齐次性：三角不等式：乘法不等式：F范数：1范数：，列和最大范数：，行和最大2范数：，其中，为的特征值，3）Gauss消元法（上三角阵）：；列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵，详见杨娟ppt）4）三角分解法（此部分难以简单说明，具体见ppt）：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵：追赶法：Crout分解法解三对角方程8）Jacobi迭代：9）Gauss-Seidel迭代：第三章 插值法与数值逼近1）Lagrange插值：，余项：2）Newton插值：差商表余项3）Hermite插值（待定系数法）其中余项：4）分段线性插值：插值基函数：余项：分段余项5）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：法方程其中第四章 数值积分1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函数，其中误差：定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的3）等距节点的Newton-Cotes公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可，其中；梯形公式辛甫生(Simpson)公式柯特斯(Cotes)公式一阶【2次代数精度】令f(x)=x2二阶【3次代数精度】令f(x)=x4四阶【5次代数精度】4）复化的N-C公式复化梯形公式复化辛甫生公式复化柯特斯公式 复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式5）Romberg积分法梯形递推公式加权平均公式： 6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度=2n+1；第六章 常微分方程的数值解法（差分法）1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分2）Euler公式：欧拉公式简单；精度低向前差商近似导数欧拉法具有 1 阶精度改进的欧拉公式此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。3）四阶经典Runge-Kuta法