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2016届广东省广雅学校高三上学期期中考试数学(理)试题一选择题:本大题共12小题,每小题5分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知全集 集合则为( )(A) (B) (C) (D)(2)复数(是虚数单位)的模等于( )(A) (B) (C) (D)(3)下列命题中的假命题是( )(A) (B) (C) (D) (4)已知向量,且,则实数( )(A)1 (B)2或1 (C)2 (D)2(5)设p:f(x)=x32x2+mx+1在(,+)上单调递增;q:m,则p是q的( ) (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)以上都不对(6)已知函数,则=( ).(A) (B) (C) (D)(7)已知某几何体的三视图如右图所示,正视图和侧视图是边长为1的正方形,俯视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )(A) (B) (C) (D)(8)已知实数满足约束条件,则的最大值为( )(A) (B) (C) (D) (9) 若的展开式中项的系数为20,则的最小值为( ) (A)1 ( B)2 (C)3 ( D)4(10)设为不同的平面,为不同的直线,则的一个充分条件为( )(A), (B), (C), (D),(11)将甲,乙等5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这3所大学就读,则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为( )种。(A)150 (B)180 (C)240 (D)540(12)对函数,在使成立的所有常数中,我们把的最大值叫做函数的下确界现已知定义在R上的偶函数满足,当时,则的下确界为 ( ) (A) (B) (C) (D)二填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13).已知偶函数f(x)在0,+ )单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是_.(14)方程有实根的概率为 (15)已知点的坐标满足条件点为坐标原点,那么的最大值等于 (16)已知函数(,为自然对数的底数),若函数在点处的切线平行于轴,则 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)已知为等差数列,且满足(I) 求数列的通项公式;(II)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值(18)(12分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC(tanAtanC1)=1()求B的大小; ()若,求ABC的面积(19)(本小题满分12分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为,由此得到样本的重量频率分布直方图(如右图),()求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;()从盒子中随机抽取个小球,其中重量在内的小球个数为,求的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).(20) (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.()证明:PB平面AEC;()设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.(21)(本小题满分12分)已知函数 (I) 讨论函数的单调区间; (II)当时,若函数在区间上的最大值为,求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号。(22)(本小题满分10分) 选修41:几何证明选讲如图,为的直径,直线与相切于点, 垂直于点,垂直于点,垂直于点,连接,.证明:();第1题图()(23)(本小题满分10分) 选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆的方程为()求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标;()设直线和圆的交点为、,求弦的长(24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知且关于的不等式的解集为.()求的值;()若,均为正实数,且满足,求的最小值.参考答案一选择题:本大题共12小题,每小题5分。题号123456789101112答案CADBCBCBBDAD(1)【解析】,又,故选C(2)【解析】,故模为,故选A(3)【解析】对选项D,由于当时,故选D(4)【解析】因为,所以,解得,故,故选B(5)【解析】解:f(x)=x32x2mx+1在(,+)上单调递增,f(x)=3x24xm,即3x24xm0在R上恒成立,所以=16+12m0,即m,p:f(x)=x32x2mx+1在(,+)上单调递增;q:m根据充分必要条件的定义可判断:p是q的必要不充分条件, 故选:C(6)【解析】,所以,故选B(7)【解析】该几何体为直三棱柱,故体为,故选C(8)【解析】由于可行域为三角形,且三角形的三个顶点分别为,所以最优解为 时可使目标函数取得最大值为2,故选B(9)B【解析】由二项式定理的展开公式可得:,项为,因为的展开式中项的系数为20,所以,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立所以选B(10)【解析】对于选项A,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m,故不正确;对于选项B,因为与可能平行,也可能相交,所以m与不一定垂直,故不正确;对于选项C,因为与可能平行,也可能相交,所以m与不一定垂直,故不正确;对于选项D,由n,n,可得,而m,则m,故正确,故选D(11)【解析】分为两类,第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学,方法数为,第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学,方法数为,故不同保送的方法数为150种,故选A(12)【解析】如右图所示,函数在上的部分图象,易得下确界为,故选D二、填空题:(每小题5分,共20分)13、 14、 15、 16、 14【解析】方程有实根时,满足,得,由几何概型知,得.15【解析】如右图所示,.16【解析】直线平行于轴时斜率为,由得,得出.三、解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17(本小题满分12分)【解析】()设数列 的公差为,由题意知 2分解得 4分所以,得 6分()由()可得 8分 ,因 成等比数列,所以,从而, 10分即 ,,解得 或(舍去) 12分(18)(12分).解答:解:()由2cosAcosC(tanAtanC1)=1得:2cosAcosC(1)=1,2(sinAsinCcosAcosC)=1,即cos(A+C)=, cosB=cos(A+C)=,又0B, B=;()由余弦定理得:cosB=, =,又a+c=,b=, 2ac3=ac,即ac=, SABC=acsinB=19(本小题满分12分)【解】()由题意,得,解得;1分又由最高矩形中点的的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20(克),2分而个样本小球重量的平均值为:(克)故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为克;4分()利用样本估计总体,该盒子中小球重量在内的概率为,5分则.的可能取值为、,6分,. 10分的分布列为:.(或者)12分(20)解:(I)连接BD交AC于点O,连结EO。 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点。又E为PD的中点,所以EOPB-2分。 EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.-4分()因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直-5分 如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系,则. -7分 设,则。设为平面ACE的法向量,则即-8分,可取-9分。又为平面DAE的法向量,由题设,即,解得-10分。因为E为PD的中点,所以三棱锥的高为.三棱锥的体积.-12分21(本小题满分12分)【解析】(I) 1分 令得2分 (i)当,即时,在单调递增 3分 (ii)当,即时, 当时,在内单调递增; 当时,在内单调递减 4分 (iii)当,即时, 当时,在内单调递增; 当时,在内单调递减 5分 综上,当时,在内单调递增,在内单调递减;当 当时,在单调递增;当时,在内单调递增,在内单调递减(其中) 6分 (II)当时, 令,得 7分 将,变化情况列表如下:100极大极小 8分 由此表可得,
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