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第2课时 函数的单调性一、填空题1函数y的单调区间是_,在该区间上是单调_解析:y可写成y1,所以函数的单调区间是(,2)及(2,),在这两个区间上都是单调减函数答案:(,2)及(2,)减函数2(2010福建厦门模拟)函数y(m1)x3在R上是增函数,则m的取值范围是_解析:由题意知m10,即m1.答案:(1,)3已知函数yf(x)是定义在R上的增函数,则f(x)0的根最多有_个解析:f(x)在R上是增函数,对任意x1,x2R,若x1x2,则f(x1)f(x2),反之亦成立故若存在f(x0)0,则x0只有一个,若对任意xR都无f(x)0,则f(x)0无解答案:14已知函数f(x)x22x3在闭区间0,m上最大值为3,最小值为2,则m的取值范围为_解析:f(x)(x1)22,其对称轴为x1,当x1时,f(x)min2,故m1,又f(0)3,f(2)3,m2.答案:1,25(2010济宁调研)函数y(xR)的最小值是_解析:由已知:yx2yx2,即x20,y(y1)0或y0,0y1.y的最小值为0.答案:06函数y在(1,)上单调递增,则a的取值范围是_解析:y1,需a3.答案:a37(2009苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)若函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是_解析:由题意可得:f(x)2mx2在(0,)上有f(x)0恒成立,所以,2mx20在(0,)上恒成立,即2m在(0,)上恒成立,设t(x)21,只要求出t(x)在(0,)上的最大值即可而当1,即x1时,t(x)max1,所以2m1,即m.答案:m二、解答题8已知函数f(x)(a0)在(2,)上递增,求实数a的取值范围解:设2x1x2,由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即当2x1a恒成立又x1x24,则0a4.9用函数单调性的定义证明:f(x)axax在(0,)上是增函数(这里a0且a1)证明:任取x1、x2(0,),且x1x2,则f(x1)f(x2)(ax1ax1)(ax2ax2)(ax1ax2)()(ax1ax2).0x1x2,x1x20,ax1x20.(1)当a1时,ax1x21,ax1ax2,ax1x210,ax1ax20,f(x1)f(x2)0;(2)当0a1时,ax1x21,ax1ax2,ax1x210,ax1ax20,f(x1)f(x2)0.综上所述,对于任何a0且a1,均有f(x1)f(x2),f(x)在(0,)上是增函数10(2010黑龙江双鸭山一中高三)讨论函数f(x)x(a0)的单调性解:解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,)上的单调性,设x1x20,则f(x1)f(x2)(x1x2).当0x2x1时,1,则f(x1)f(x2)0,f(x)在,),(,)上是增函数同理0x或x0时,f(x)0,即f(x)在(0,)、,0上是减函数1函数y(x3)|x|的递增区间是_解析:y=-(x-3)|x|= 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为.答案:2求函数f(x)ex22x3的单调区间解:f(x)的定义域为R.令u(x)x22x3(x1)24.故二次函数的对称轴为x1,u(x)的单调增区间1,),单调减区间是(,1外层函数f(u)eu是增函数,由复合函数的单调性可知,f(x)ex22x3的单调增区间是1,),单调减区间是(,1
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