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20182019学年度第一学期期末考试高三数学试题(考试时间:120分钟 总分:160分)注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效(参考公式:柱体的体积,椎体的体积 )一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相对应答题线上)2.已知集合,若,则 (第6题)3.复数满足(是虚数单位),则 4.函数的定义域是 5. 从这五个数中随机取两个数,则这两个数的和为的概率为 6. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的的值是 7.已知数列满足中,则 (第9题)8. 若抛物线的准线与双曲线的一条准线重合,则 9. 如图,在直三棱柱中,点为棱的中点,记三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,则的值是 10. 已知函数,若,则实数a的取值范围为 11. 在平面直角坐标系中,过圆上任一点作圆的一条切线,切点为,则当线段长最小时, 12. 已知点为平行四边形所在平面上一点,且满足,则 13. 已知函数,若存有,使得,则实数的取值范围是 14.在中,已知,其中(),若为定值,则实数 二、解答题:(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)已知向量,其中(1)若,求的值;(2)若,求的值16.(本题满分14分)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,点为对角线的中点,点,分别为棱,的中点已知,求证:(1)直线平面; (2)平面平面17.(本题满分14分)如图,三个小区分别位于扇形的三个顶点上,点是弧的中点现欲在线段上找一处开挖工作坑(不与点重合),为小区铺设三条地下电缆管线,已知千米,记,地下电缆管线的总长度为千米()将表示为的函数,并写出的范围;()请确定工作坑的位置,使地下电缆管线的总长度最小 18.(本题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,点是椭圆上异于左、右顶点的任一点,是的中点,过点且与垂直的直线与直线交于点已知椭圆的离心率为,点到右准线的距离为(1)求椭圆的标准方程; (2)设点的横坐标为,求的取值范围 19.(本题满分16分)设为函数图象上相异两点,且点的横坐标互为倒数过点分别作函数的切线,若这两条切线存有交点,则称这个交点为函数的“优点”(1)若函数不存有“优点”,求实数的值;(2)求函数的“优点”的横坐标的取值范围;(3)求证:函数的“优点”一定落在第一象限 20.(本题满分16分)已知数列的前项和为, ,且对任意的都有 (1)若,求的值;(2)数列能否是等比数列?请说明理由;(3)当时,求证:数列是等差数列20182019学年度第一学期期末考试高三数学答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题 15.(本题满分14分)解:(1)因为,所以,3分即,因为,所以,所以 7分(2)因为,因为,所以,则,所以,10分所以,所以14分16.(本题满分14分)证明:(1)在中,为的中点,为的中点, 所以,3分 因为平面,平面,7分 所以直线平面 (2)连结, 因为底面为平行四边形,为的中点, 所以为的中点, 在中,为的中点,为的中点, 所以,9分 因为, 所以,11分 又因为,在平面内, 所以平面, 因为平面, 所以平面平面14分17.(本题满分14分)解:(1)因为点是弧的中点,所以, 因为,所以, 在中,由正弦定理, 即, 所以,4分所以,7分 (2)因为, 所以,令,得,10分 当时,当时, 所以当时,有极小值,且是最小值,此时.13分答:(1),(2)当为千米时,地下电缆管线的总长度最小 14分 18.(本题满分16分)解: (1)由题意得, ,解得,所以,所以椭圆的标准方程为 4分(2) (法1)设,则,因为,所以直线的方程为,因为是的中点,所以,所以直线的方程为,联立直线、的方程得, 8分解得,由得,代入上式化简得,14分因为,所以16分(法2)设直线的方程为,将代入椭圆方程得,解得,所以,则直线的方程为,因为是的中点,则,所以直线的斜率为,则直线的方程为,8分联立直线、的方程得, 14分因为,所以,即16分 19.(本题满分16分)解:(1)不妨设,当时,则;当时,则,因为函数不存在优点,所以对任意的,都有,所以4分(2)设,由题意,过两点的切线方程分别为,6分联立得,即,所以,8分因为,所以当时,;当时,所以优点横坐标的取值范围是10分(3)证:设优点为,只要证, 设,不妨设在的右边,则, 过的切线方程分别为:,联立这两个方程得, 2分 因为,所以,设,则所以函数在上是增函数,所以,则因为当时,所以故函数的优点一定落在第一象限16分20.(本题满分16分)证明:(1)因为,所以,当时,所以,即,因为,所以4分(2)数列不能是等比数列,理由如下:假设 是等比数列,设公比为,因为,所以,等比数列需满足,所以或,6分当时,因为时,即,则,又时,所以,而不构成等比数列,所以此时不满足要求;8分当时,因为时,即,则,又时,所以,而不构成等比数列,所以此时不满足要求,故数列不能是等比数列10分(3)当时,即,因为,所以,所以,当时,所以。因为,所以,即,所以当时,两式相减得,即,12分所以,两式相减得,所以, 14分所以所以对任意的,都有,又因为,所以数列是等差数列16分
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