二阶常微分方程边值问题的数值解法摘 要 求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equationswith the Boundary Value Problems ABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab to solve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors. KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解*学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目 录前 言1第一章 二阶常微分方程2第二章 边值问题的数值解法72.1 有限差分逼近的相关概念72.2差分方程的建立82.3差分问题的可解性102.4差分方程的收敛性112.5 差分方程的稳定性122.6有限差分分方程的解法12第三章 具体算例15 3.1 二阶常微分方程算例的数值解15 3.2 算例结果分析25总 结26参考文献27附 录307前 言 求解常微分方程边值问题在计算数学领域中一直占很重要的地位，但是常微分方程中仅有一些典型的方程能求出解析解，大部分是求不出解析解的因此常微分方程数值解的研究具有重要的现实意义 用数值方法求解微分方程问题几乎是与微分方程同时出现的，其历史可以追溯到月一个半世纪前上个世纪中叶以后，由于微分方程本身的理论的深入发展，兼之电子计算机的问世，用数值方法求解微分方程问题的研究更进入了一个蓬勃发展的新局面求解常微分边值问题最有效的方法之一是有限差分法经典的有限差分法是利用差商代替导数（数值微分）或者差分插值（数值积分）的方法来构造差分格式为了构造具有较高截断误差的差分格式，近年来一些学者提出了利用样条函数或者参数样条函数的方法来近似代替未知函数通过配置的方法，构造出一些样条差分格式，但高阶数值微分公式和关于高次样条函数的高阶导数的计算都较为困难，同时构造差分格式引起的计算量非常大，有的方法精度并不高，所以这些方法都不能很好地适应高阶微分方程 本文就二阶常微分方程边值问题，利用差分法求解数值解有限差分法是数值方法中最经典的方法这种方法发展较早，比较成熟，较多用于求解双曲型和抛物型问题用有限差分法近似求解常微分方程问题有多种多样的方法，并且也可以用不同的构造方法来建立这些有限差分法用Taylor级数展开方法是最常用的方法用Taylor法展开来建立差分格式，实际上等价于用差商来近似微商得到相应的差分格式第一章 二阶常微分方程 如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程1 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具对常微分方程的研究1可分为以下几个阶段： 发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代 莱布尼茨(Leibniz)曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉(Euler)则试图用积分因子统一处理伯努利(Bernoulli)、里卡蒂（Riccati）微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程 早期的微分方程的求解热潮被刘维尔