初中数学竞赛辅导资料（初二17）同一法甲内容提要1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。互逆两个命题一般是不等价的。例如原命题：福建是中国的一个省（真命题）逆命题：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如原命题：中国的首都是北京（真命题）逆命题：北京是中国的首都（真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）乙例题例1. 求证三角形的三条中线相交于一点已知：ABC中，AD，BE，CF都是中线求证：AD，BE，CF相交于同一点分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，F，B）证明：DABEBA180AD和BE相交，设交点为G连结并延长CG交AB于F，连结DE交CF，于MDEAB， 即， 即， AF，BF，AF，是BC边上的中线，BC边上的中线只有一条， AF，和AD是同一条中线AD，BE，CF相交于一点G。例2.已知：ABC中，D在BC上，AB2AC2BD2DC2求证：AD是ABC的高分析：从题设AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AEBC，证明在题设的条件下AE就是AD。证明：作AEBC交BC于E A根据勾股定理AB2AC2（AE2BE2）（AE2EC2） BE2EC2AB2AC2BD2DC2BEDCBD2DC2 BE2EC2（BDDC）（BDDC）（BEEC）（BEEC）BDDCBEEC BDDCBEEC：2BD2BE即点D和点E重合，即AD是ABC的高例3如图已知：四边形ABCD中，ABDADB15CBD45，CDB30求证：ABC是等边三角形证明：在BC或延长线上取点E，使BEAB连结AE，DE，则ABE是等边三角形AEABAD，EAD1506090，ADE45ADC45，且DE，DC在DA的同一侧，DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合ABC是等边三角形例4.求证：1分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数，它们积是1，则它们的和是1那么逆命题是：若u+v=1,且uv=1，则u=,v=证明：设u+v=1,且uv=1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）得u,v是方程x2x10的两个根x=,即u,v分别等于，而u3=（）32，v3=（）32u=,v=即1例5.已知：ACD是圆的割线，点B在圆上，且AB2ACAD求证：AB是圆的切线证明：过点B作圆的切线，交DC于A1，则CBA1D由已知AB2ACAD，则，AAACBABDCBAD，CBA1CBABA和BA1重合，它们与DC的交点是同一个点即AB是圆的切线。例6.以ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，F，那么过D，E，F的圆是ABC的内切圆。分析：用同一法证明，作出ABC的内切圆，再证明三个切点和D，E，F重合证明：作ABC的内切圆和AB，BC，CA分别切于D，E，F，根据切线长定理，得AD，AF，BE，BD，CF，CE，设A,B，C半径长分别为x,y,z,解得，x=,y=,z=AD，AD，BE，BE，CF，CF即D，与D，E，与E ， F，与F重合。ABC的内切圆和各边切于D，E，F即过D，E，F的圆是ABC的内切圆。丙练习331. 用同一法证明： 三角形的中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底2. 已知E是正方形ABCD内的一点，EABEBA15求证ECD是等边三角形3. 已知ABC中，ABAC，A36，在AC上取点D，使ADBC求证BD是ABC的平分线4. 如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点5. ABC中， CRt，ACBC，点D在AC上，且CDABBC求证BD平分ABC6. 正方形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，DEAM于E，求证点N在DE的延长线上7. 已知：四边形ABCD中，E，F和GH分别三等分AB和CD，M和N分别是BC，AD中点，ND求证：A MN平分EH和FG EH MN被EH，FG三等分FGBMC8.已知：矩形ABCD中，AB2BC，点E在CD上，且CBE15求证：AEAB9.已知：AD是四边形ABCD外接圆O的直径，ABC120ACB45点P在CB的延长线上，且PB2BC求证：PA是O的切线10.已知：H是ABC的垂心（三条高的交点），过H，B，C三点作O，延长ABC的中线AM交O于D求证：AMMD AOODCBP答案：1. 过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点2. 以CD为一边向形内作等边E1CD，证E1ABE1BA153. 作ABC的平分线，证它与BD重合4. 取另一腰的中点，5. 同3，作ABC的平分线，证它与BD重合6. 延长DE交BC于N，证明N，是BC的中点7. 取EH的中点P，FG的中点Q，则PFMG和QHNE都是平行四边形，PM过FG中点，QN过EH中点，M，Q，P，N是同一直线8. 作等腰三角形ABE1交CD于E1，证明E1和E是同一点。9. 过点A作O的切线交CB于P1，证明这P1B2BC设AD2R，可得ACR，ABR，P1AB这P1CA，10. 延长AM到D，使MD，AM，证明点D，在圆上。即B，H，C，D，四点共圆。魔靖123