1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题第第1课时课时用空间向量研究距离问题用空间向量研究距离问题课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目标素素养养1.掌握点到直线的距离公式与点到平面的距离公式掌握点到直线的距离公式与点到平面的距离公式.2.能用向量方法解决点到直线的距离、点到平面的距离等距能用向量方法解决点到直线的距离、点到平面的距离等距离问题离问题,体会向量方法在研究距离问题中的作用体会向量方法在研究距离问题中的作用.3.通过本节课学习通过本节课学习,提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养理的核心素养.知知识概概览课前基础认知1.空间中点到直线的距离空间中点到直线的距离如图如图,已知直线已知直线l的单位方向向量为的单位方向向量为u,A是直线是直线l上的定点上的定点,P是是直线直线l外一点外一点.微微训练1已知已知点点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点则点A到直线到直线BC的的距离为距离为()答案答案:A2.空间中点到平面的空间中点到平面的距离距离 答案答案:A解析解析:如图如图,以以P为原点为原点,PA,PB,PC所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,课堂重难突破一一求求点到直点到直线的距离的距离典例剖析典例剖析1.在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E,F分别为分别为C1C,D1A1的中点的中点,求点求点A到直线到直线EF的距离的距离.解解:如图如图,以以D为原点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),所以直线所以直线EF的一个单位方向向量为的一个单位方向向量为互动探究互动探究1.(变问法变问法)本例其他条件不变本例其他条件不变,若若G为为A1D的中点的中点,求直线求直线CG到直线到直线EF的距离的距离.又又EF与与CG不重合不重合,所以所以EFCG.所以直线所以直线CG到直线到直线EF的的距离即为点距离即为点C到直线到直线EF的距离的距离.2.(变问法变问法)本例条件不变本例条件不变,若若P点在直线点在直线EF上上,求求P点到直线点到直线AB的距离的最小值的距离的最小值.规律总结规律总结 1.向量法求点向量法求点N到直线到直线l的距离的步骤的距离的步骤(1)建系建系,依据图形先求出直线依据图形先求出直线l的单位方向向量的单位方向向量u.2.两平行直线间的距离可转化为点到直线间的距离进行求解两平行直线间的距离可转化为点到直线间的距离进行求解.学以致用学以致用 答案答案:A二二求求点到平面的距离点到平面的距离典例剖析典例剖析2.已知四边形已知四边形ABCD是边长为是边长为4的正方形的正方形,E,F分别是分别是AB,AD的中点的中点,CG垂直于正方形垂直于正方形ABCD所在的平面所在的平面,且且CG=2,求点求点B到到平面平面EFG的距离的距离.解解:如图如图,以以C为坐标原点为坐标原点,CD,CB,CG所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.由题意可知由题意可知,G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0),规律总结规律总结求求点到平面的距离的四步骤点到平面的距离的四步骤学以致用学以致用2.如图如图,该多面体是由底面为该多面体是由底面为ABCD的长方体被截面的长方体被截面AEC1F所截而得到的所截而得到的,其中其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求求:(1)BF的长的长;(2)点点C到平面到平面AEC1F的距离的距离.解解:如图如图,以以D为原点为原点,DA,DC,DF所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设设F(0,0,z).四边形四边形AEC1F为平行四边形为平行四边形,三三求求直直线到平面的距离或两平行平面之到平面的距离或两平行平面之间的距离的距离典例剖析典例剖析3.在直四棱柱在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,底面底面ABCD为直角梯形为直角梯形,ABCD,且且ADC=90,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是是CC1的中点的中点,求直线求直线A1B1到平面到平面ABE的距离的距离.解解:如图如图,过点过点C作作CFAB于点于点F,由由题意可知题意可知,四边形四边形ADCF为矩形为矩形,以以D为原点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系,因为因为A1B1AB,A1B1 平面平面ABE,AB 平面平面ABE,所以所以A1B1平面平面ABE,所以所以直线直线A1B1到平面到平面ABE的距离即为点的距离即为点A1到平面到平面ABE的距离的距离.设平面设平面ABE的法向量为的法向量为n=(x,y,z),互动探究互动探究(变问法变问法)本例其他条件不变本例其他条件不变,若若M是是BB1的中点的中点,求平面求平面D1MC1到平面到平面ABE的距离的距离.解解:如图如图,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,因为因为AB与与C1D1不重合不重合,BE与与C1M不重合不重合,所以所以C1D1AB,C1MBE.因为因为C1D1 平面平面ABE,AB 平面平面ABE,所以所以C1D1平面平面ABE,同理同理C1M平面平面ABE.又又C1D1C1M=C1,所以平面所以平面D1MC1平面平面ABE.所以平面所以平面D1MC1到平面到平面ABE的距离即为点的距离即为点C1到平面到平面ABE的的距离距离.由例题解析知由例题解析知,平面平面ABE的一个法向量的一个法向量n=(1,0,1),规律总结规律总结求求直线到平面的距离或两平行平面之间的距离直线到平面的距离或两平行平面之间的距离,都可以转化都可以转化为求点到平面的距离为求点到平面的距离.为计算方便为计算方便,往往选取直线上或平面内往往选取直线上或平面内比较特殊的点比较特殊的点.学以致用学以致用3.已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为a,求平面求平面AB1D1与平与平面面BDC1的距离的距离.解解:由正方体的性质易得平面由正方体的性质易得平面AB1D1平面平面BDC1,则两平面则两平面间的距离可转化为点间的距离可转化为点B到平面到平面AB1D1的距离的距离.显然显然A1C平面平面AB1D1,以以D为坐标原点为坐标原点,分别以分别以DA,DC,DD1所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系(图略图略),则平则平面面AB1D1的一个法向量为的一个法向量为n=(1,-1,1),又又A(a,0,0),B(a,a,0),随堂训练1.已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2,则则A1A到平面到平面B1D1DB的距离为的距离为()答案答案:A2.已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2,点点E为为A1B1的中点的中点,则点则点A到直线到直线BE的距离为的距离为()答案答案:B解析解析:如图如图,以以D为原点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则A(2,0,0),B(2,2,0),E(2,1,2),3.已知已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点则点D到平面到平面ABC的距离为的距离为.4.底面是直角梯形的四棱锥底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中中,侧棱侧棱PA底面底面ABCD,BCAD,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1,则则AD到平面到平面PBC的距离为的距离为.解析解析:由题意可知由题意可知,AD到平面到平面PBC的距离等于点的距离等于点A到平面到平面PBC的距离的距离,且且AB,AD,AP两两垂直两两垂直.5.如图如图,P为矩形为矩形ABCD所在平面外一点所在平面外一点,PA平面平面ABCD.已知已知AB=3,AD=4,PA=1,求点求点P到直线到直线BD的距离的距离.解解:如图如图,以以A为原点为原点,AB,AD,AP所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),