2.5.1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系第第1课时课时直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.能根据给定直线、圆的方程能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系,提提升逻辑推理素养升逻辑推理素养.2.能解决有关直线与圆的位置关系的问题能解决有关直线与圆的位置关系的问题,提升数学运算素养提升数学运算素养.知知 识 概概 览课前基础认知直线直线Ax+By+C=0(A,B不同时为不同时为0)与圆与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置的位置关系及判断关系及判断微拓展微拓展1.过一点过一点P所作圆的切线的条数所作圆的切线的条数:当当P在圆外时在圆外时,可作可作圆的两条切线圆的两条切线;当当P在圆上时在圆上时,只能作一条切线只能作一条切线;当当P在圆内时在圆内时,不能作圆的切线不能作圆的切线.2.过圆上一点过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程的圆的切线方程:微微诊断断 判断判断.(正确的打正确的打“”,错误的打错误的打“”)(1)若直线与圆组成的方程组有解若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切则直线与圆相交或相切.()(2)若直线与圆有公共点若直线与圆有公共点,则直线与圆相交则直线与圆相交.()(3)当直线与圆相离时当直线与圆相离时,圆上各点到直线距离的最大值为圆心圆上各点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆半径的和到直线的距离与圆半径的和.()课堂重难突破一一 直直线与与圆的位置关系的判断的位置关系的判断典例剖析典例剖析1.已知直线方程已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当当m为何值时为何值时,直线与圆直线与圆(1)有两个公共点有两个公共点?(2)只有一个公共点只有一个公共点?(3)没有公共点没有公共点?规律总结规律总结判断判断直线与圆位置关系的三种方法直线与圆位置关系的三种方法(1)几何法几何法:由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离d与圆的半径与圆的半径r的大小关系判的大小关系判断断.(2)代数法代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断断.(3)直线系法直线系法:若直线恒过定点若直线恒过定点,则可根据点与圆的位置关系判则可根据点与圆的位置关系判断断.此法有一定的局限性此法有一定的局限性,必须是过定点的直线系必须是过定点的直线系.学以致用学以致用1.(1)直线直线x-ky+1=0与圆与圆x2+y2=1的位置关系是的位置关系是()A.相交相交B.相离相离C.相交或相切相交或相切D.相切相切(2)若直线若直线x-y+m=0与圆与圆x2+y2=2相切相切,则实数则实数m等于等于()A.2B.-2C.D.2答案答案:(1)C(2)D解析解析:(1)由题意知由题意知,直线直线x-ky+1=0恒过定点恒过定点(-1,0),而点而点(-1,0)在在圆上圆上,故直线与圆相切或相交故直线与圆相切或相交.(2)因为直线因为直线x-y+m=0与圆与圆x2+y2=2相切相切,二二 直直线与与圆相切相切典例典例剖析剖析2.若若直线直线l经过点经过点P(2,3),且与圆且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切相切,求直线求直线l的方程的方程.解解:(2-1)2+(3+2)21,点点P在圆外在圆外.(方法一方法一)若直线若直线l的斜率存在的斜率存在,设设直线直线l:y-3=k(x-2),即即kx-y+3-2k=0.直线直线l与圆与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切相切,若直线若直线l的斜率不存在的斜率不存在,则直线则直线l:x=2,经验证经验证,符合题意符合题意.因此因此,直线直线l的方程为的方程为12x-5y-9=0或或x=2.(方法二方法二)若直线若直线l的斜率存在的斜率存在,设直线设直线l:y-3=k(x-2),即即y=k(x-2)+3.与圆的方程联立消去与圆的方程联立消去y,得得(x-1)2+k(x-2)+3+22=1,整理整理得得(k2+1)x2-(4k2-10k+2)x+4k2-20k+25=0.若直线若直线l的斜率不存在的斜率不存在,则直线则直线l:x=2,经验证经验证,符合题意符合题意.因此因此,直线直线l的方程为的方程为12x-5y-9=0或或x=2.互动探究互动探究1.(变问法变问法)本本例条件例条件不变不变,求此切线长求此切线长.2.(变条件变条件)本本例中点例中点P的坐标改为的坐标改为(2,-2),其他条件不变其他条件不变,求直求直线线l的方程的方程.解解:(2-1)2+(-2+2)2=1,点点P在圆上在圆上,经过点经过点P(2,-2)的切线方程为的切线方程为x=2,即直线即直线l的方程为的方程为x=2.3.(变条件变条件)本例中本例中,“直线直线l经过点经过点P(2,3)”改为改为“直线直线l与直线与直线y=x+1垂直垂直”,其他条件不变其他条件不变,求直线求直线l的方程的方程.规律总结规律总结求圆的切线方程的方法求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法的圆的切线方程的求法:先求切点与圆心先求切点与圆心连线的斜率连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率再由垂直关系得切线的斜率为为 ,由点斜式可得由点斜式可得切线方程切线方程.如果斜率为零或不存在如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方则由图形可直接得切线方程程y=y0或或x=x0.(2)过圆外一点过圆外一点(x0,y0)的切线方程的求法的切线方程的求法:设切线方程为设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得可求得k,也就也就得切线方程得切线方程.当用此法只求出一个方程时当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一而过圆外一点的切线有两条点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解一般不用联立方程组的方法求解.(3)斜率为斜率为k的切线方程的求法的切线方程的求法:设切线方程为设切线方程为y=kx+m,根据直根据直线与圆相切线与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径利用圆心到直线的距离等于半径,建立方程解出建立方程解出m的值的值,即可得到切线方程即可得到切线方程.学以致用学以致用2.已知已知P是直线是直线2x+y+10=0上的动点上的动点,直线直线PA,PB与圆与圆x2+y2=4分别相切于分别相切于A,B两点两点,则四边形则四边形PAOB面积的最小值为面积的最小值为.答案答案:8三三 直直线与与圆相交相交典例剖析典例剖析3.(1)过圆过圆x2+y2=8内的点内的点P(-1,2)作直线作直线l交圆于交圆于A,B两点两点.若直若直线线l的倾斜角为的倾斜角为135,则弦则弦AB的长为的长为.(2)圆心为圆心为C(2,-1),截直线截直线y=x-1所得的弦长为所得的弦长为2 的的圆的方圆的方程程为为.互动探究互动探究(变条件变条件,变问法变问法)过圆过圆x2+y2=8内的点内的点P(-1,2)作直线作直线l交圆于交圆于A,B两点两点.若弦若弦AB的长为的长为2 ,求直线求直线l的方程的方程.当直线当直线l的斜率不存在时的斜率不存在时,直线直线l的方程为的方程为x=-1,圆心圆心(0,0)到直到直线线x=-1的距离为的距离为1,所以直线所以直线x=-1符合题意符合题意;当直线当直线l的斜率存在时的斜率存在时,设直线设直线l的方程为的方程为y-2=k(x+1),综上可得综上可得,直线直线l的方程为的方程为x=-1或或3x+4y-5=0.规律总结规律总结 求求直线与圆相交时的弦长的方法直线与圆相交时的弦长的方法(1)交点法交点法:将直线方程与圆的方程联立将直线方程与圆的方程联立,求出交点求出交点A,B的坐标的坐标,根据两点间的距离公式根据两点间的距离公式(2)弦长公式弦长公式:如如图图所所示示,将直线方程与圆的方程联立将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两设直线与圆的两交点分别是交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),上述三种方法中以几何法最为简洁上述三种方法中以几何法最为简洁,用得最多用得最多.学以致用学以致用3.已知直线已知直线l:kx-y+k+2=0与圆与圆C:x2+y2=8.(1)证明证明:直线直线l与圆与圆C相交相交;(2)当直线当直线l被圆被圆C截得的弦长最短时截得的弦长最短时,求直线求直线l的方程的方程,并求出并求出直线直线l被圆被圆C截得的弦长截得的弦长.(1)证明证明:直线直线l:kx-y+k+2=0,其方程可化为其方程可化为y-2=k(x+1),则则直线直线l经过定点经过定点(-1,2).(-1)2+228,点点(-1,2)在圆在圆C内内,直线直线l与圆与圆C相交相交.(2)解解:由由(1)知知,直线直线l过定点过定点P(-1,2),又圆又圆C:x2+y2=8的圆心为原点的圆心为原点O,则当直线则当直线l与与OP垂直时直线垂直时直线l被圆被圆C截得的弦长最短截得的弦长最短.随堂训练1.若直线若直线3x+4y=b与圆与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切相切,则则b的值是的值是()A.-2或或12B.2或或-12C.-2或或-12D.2或或12答案答案:D解析解析:圆的方程可化为圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,可得圆心坐标为可得圆心坐标为(1,1).由由题意得圆心题意得圆心(1,1)到直线到直线3x+4y-b=0的的距离距离 =1,解得解得b=2或或b=12,故选故选D.2.(多选题多选题)已知圆已知圆C的方程为的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,直线直线l的方程为的方程为x+my-m-2=0,则下列选项正确的是则下列选项正确的是()A.直线直线l恒过定点恒过定点(2,1)B.直线可能与圆相切直线可能与圆相切C.直线被圆所截得的最短弦长为直线被圆所截得的最短弦长为2D.存在一个实数存在一个实数m,使直线使直线l经过圆心经过圆心C答案答案:AC解析解析:直线直线l的方程的方程x+my-m-2=0可化为可化为x-2+m(y-1)=0,当当x=2时时,y=1,所以直线所以直线l恒过定点恒过定点(2,1),故故A正确正确;因为因为(2-1)2+(1-1)2=14,所以点所以点(2,1)在圆内在圆内,则直线不可能与圆相切则直线不可能与圆相切,故故B错误错误;当圆心当圆心C(1,1)与点与点(2,1)的连线与直线的连线与直线l垂直时垂直时,圆心到直线圆心到直线l的距离的距离最最无解无解,故不存在一个实数故不存在一个实数m,使直线使直线l经过圆心经过圆心C,故故D错误错误.故选故选AC.3.过原点的直线与圆过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为相交所得弦的长为2,则则该直线的方程为该直线的方程为.答案答案:2x-y=0解析解析:由题意可得所求直线的斜率存在且不为零由题意可得所求直线的斜率存在且不为零,则则可设所求直线方程为可设所求直线方程为y=kx(k0),即即kx-y=0(k0).由于直线由于直线kx-y=0被圆截得的弦长等于被圆截得的弦长等于2,圆的半径是圆的半径是1,因此因此圆心圆心(1,2)在直线在直线kx-y=0上上.于是有于是有k-2=0,解得解得k=2,因此所求直线方程是因此所求直线方程是2x-y=0.4.已知直线已知直线y=kx+3与圆与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于相交于M,N两点两点,且且|MN|2 ,则则k的取值范围是的取值范围是.答案答案:(-,05.已知圆已知圆C的圆心为的圆心为(1,0),直线直线x-y+1=0与圆与圆C相切相切.(1)求圆求圆C的方程的方程;(2)若直线若直线l过点过点(2,2),被圆被圆C所截得的弦长为所截得的弦长为2,求直线求直线l的方程的方程.解解:(1)因为直线因为直线x-y+1=0与圆与圆C相切