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第三章 导数与定积分第一节 导数的概念与运算题型30 导数的定义暂无题型31 求函数的导数题型32 导数的几何意义1.(2017北京理19)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.解析 (1)因为,所以,.又因为,所以曲线在点处的切线方程为.(2)设,则.当时,所以在区间上单调递减.所以对任意,有,即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为,最小值为.第二节 导数的应用题型33 利用导数研究函数的单调性题型34 利用导函数研究函数的极值与最值1.(2017江苏20)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).(1)求关于的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:;(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围解析 (1)由,得,当时,有极小值为因为的极值点是的零点,所以,又,故当时,恒成立,即单调递增,所以此时不存在极值,不合题意因此,即,所以有两个相异的实根,.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是,从而.所以关于的函数关系式为,定义域为(2)解法一:由(1)知,即证明,即,因为,所以问题等价于,不妨设,则,不妨设,易知在上单调递增,且,从而,即得证因此解法二(考试院提供):由(1)知,设,则当时,从而在上单调递增因为,所以,故,即,因此(3)由(1)设的两个实根为,且设,且有,因此而的情况如下表所示:极大值极小值所以的极值点是,从而记,所有极值之和为,因为的极值为,所以,处理方法一:因为,于是在上单调递减因为,由,故处理方法二:所以,整理得(必然可以猜测零点),因此因此的取值范围为评注 此题第(2)问考查的是数值大小的比较,常见的有作差法、作商法、两边平方比较法,此题采用作商(考试院解法二)化简函数达到简化效果,可见对于压轴问题,方法的选择是非常关键的第(3)问实际考查的是函数零点的应用,下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考案例1:已知函数,若函数存在极值,且所有极值之和小于,则实数的取值范围是 解析 因为,设,当时,恒成立,所以单调递减,故不存在极值;所以,设的两根为(不妨设),从而,因此同号,所以问题等价于在上有两个不相等的实数根,因此,从而所以的所有极值之和为,因此,解得,又,所以实数的取值范围是另外,如果熟悉三次函数对称中心,此题还可以作如下考虑:即,令,则,所以该三次函数的对称中心为因此有这里可以采用假算的思想,即写出简单过程,省去中间过于复杂的运算过程,直接写出结果即可,这需要平时积累一些有价值的素材案例2:(徐州15-16高二下学期期末文20)已知函数,为函数的导函数(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若存在实数,且,使得,求证:解析 (1)若,则,所以切线斜率为,又,所以在点处的切线方程为(2),当时,恒成立,所以的单调增区间为;当时,令,得或,所以的单调增区间为和,同理的单调减区间为;当时,令,得所以的单调增区间为,同理的单调减区间为(3)由题意可知,是方程的两根,则,所以令,则恒成立,所以在上单调递减,所以,即2.(2017山东理20)已知函数,其中是自然对数的底数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)令,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析 (1)由题意,又,所以,因此曲线在点处的切线方程为,即.(2)由题意得,因为,令,则,所以在上单调递增.因为,所以当时,;当时,.(i)当时,.当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增,所以当时,取得极小值,极小值为;(ii)当时,由,得,. 当时,当时,此时单调递增;当时,此时单调递减;当时,此时单调递增.所以当时,取得极大值,极大值为,当时,取得极小值,极小值是;当时,所以当时,函数在上单调递增,无极值点; 当时,所以 当时,此时单调递增;当时,此时单调递减;当时,此时单调递增;所以当时,取得极大值,极大值为;当时,取得极小值,极小值为.综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增,函数有极小值,极小值为;当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,极大值是,极小值是;当时,函数在上单调递增,无极值;当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数有极大值,也有极小值, 极大值是,极小值是.3.(2017北京理19)19.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.解析 (1)因为,所以,.又因为,所以曲线在点处的切线方程为.(2)设,则.当时,所以在区间上单调递减.所以对任意,有,即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为,最小值为.4.(2017全国2理11)若是函数的极值点,则的极小值为( ).A. B. C. D.1解析 .由,解得,所以,.令,得或,当或时,;当时,则的极小值为.故选A.5.(2017浙江理20)已知函数.(1)求的导函数;(2)求在区间上的取值范围.解析 (1)因为 ,所以.(2)由,解得或.当变化时,的变化情况如下表所示.1000又,所以在区间上的取值范围是.题型35 利用导函数研究函数的图像1.(2017浙江理7)函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( ).解析 导数大于零,原函数单调递增,导数小于零,原函数单调递减,对照导函数图像和原函数图像.故选D题型36 恒成立与存在性问题1.(2017天津理20)设,已知定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.(1)求的单调区间;(2)设,函数,求证:;(3)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且满足.解析 (1)由,可得,令或.当变化时,变化情况如下表:增减增所以的单调增区间是和;单调减区间是.(2)证明:由,令,由(1)得,当时,当,单调递减;当,单调增;所以当时,可得,即.令,.由(1)可知,在上单调递增,故当时,单调递增;故当时,单调递减.当时,故.(3)对于任意的正整数,且,令,函数,由(2)知,当时,在区间;当时,在区间,故在上至少有一个零点,不妨设为,则,由(1)得在上单调递增,故.于是.因为当时,故在单调递增,所以在区间上除外没有其他的零点,而故,而是正整数,所以是正整数,从而.即,所以只要取,就有.2.(2017全国3理21)已知函数.(1)若 ,求的值;(2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值.解析 (1)解法一:,则,且,当时,在上单调递增,所以时,不满足题意;当时,当时,则在上单调递减;当时,则在上单调递增 若,在上单调递增,所以当时,不满足题意; 若,在上单调递减,所以当时,不满足题意; 若,在上单调递减,在上单调递增,所以,满足题意.综上所述解法二:因为,要使在上恒成立,则必要条件为,得.当时,.当时,单调递减;当时,单调递增;所以为的极小值点,即满足题意.(2)由(1)知当时,令,得,所以,从而.而,所以的最小值为题型37 方程解(零点)的个数问题1.(2017全国1理21)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围.解析 (1)由于,所以.当时,从而恒成立,所以在上单调递减.当时,令,从而,得极小值 综上所述,当时,在上单调递减; 当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知,当时,在上单调递减,故在上至多一个零点,不满足条件当时,令,则,从而在上单调递增.而,所以当时,;当时;当时,.由上知若,则,故恒成立,从而无零点,不满足条件若,则,故仅有一个实根,不满足条件;若,则,注意到,故在上有一个实根.而又,且,故在上有一个实根又在上单调递减,在单调递增,故在上至多两个实根综上所述,评注 对于已知零点个数,求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上,对于一般的赋值方法要把握两点:限定要寻找的范围,如本题中分别在及上各寻找一个零点;将函数不等式变形放缩,据的范围得出.在本题中,实际上在区间上找到,使得,则说明在区间上存在零点,在区间上找到,使得,则证明在区间上存在另一个零点.对于验证零点存在性的赋值问题大家可参见2017高考数学解答题核心考点(理科版).2.(2017全国3理11)已知函数有唯一零点,则( ).ABCD1解析 由条件,得:.所以,即为的对称轴,由题意,有唯一零点,故的零点只能为,即,解得故选C.题型38 利用导数证明不等式暂无题型39 导数在实际问题中的应用暂无第三节 定积分和微积分基本定理题型40 定积分的计算暂无题型41 求曲边梯形的面积暂无
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