第18讲 函数与方程一、要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点：概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若0，f(x)在区间p，q上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。若p，则f(p)=m，f(q)=M；若px0，则f()=m，f(q)=M；若x0q，则f(p)=M，f()=m；若q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的两根都大于r 二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。二、典例解析题型1：方程的根与函数零点例1（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C。（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解。题型2：零点存在性定理例2若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得； D若，有可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项C正确，见实例“在区间上满足，但其存在实数解”。题型3：二分法的概念例3关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。例4方程在0，1内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。此时差限是0.0005，选项为C。题型4：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例5设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明。证明：由题意可知，, , 当时，。又, ,综上可知，所给问题获证。例6已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.解析：设，则的二根为和。（1）由及，可得 ，即，即两式相加得，所以，；（2）由, 可得 。又，所以同号。 ，等价于或,即 或解之得 或。题型5：一元二次函数与一元二次不等式例7设，若，, 试证明：对于任意，有。解析： , , . 当时，当时，综上，问题获证。例8已知二次函数，当时，有，求证：当时，有解析：由题意知：， ， 。由时，有，可得 。 ,。（1）若，则在上单调，故当时， 此时问题获证. （2）若，则当时，又， 此时问题获证。综上可知：当时，有。点评：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。题型6：二次函数的图像与性质例9在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）解析一：由指数函数图象可以看出01.抛物线方程是y=a（x+）2，其顶点坐标为（，），又由01，可得0.观察选择支，可选A。解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而10.故选A。例10设aR，函数f(x)=x2+|xa|+1,xR. （1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值.解：（1）显然a=0时，f(x)为偶函数，当a0时，f(a)=a2+1, f(a)=a2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0， 此时f(x)为非奇非偶函数.（2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论.当xa时，.若,则f(x)在区间（-，a上单调递减， f(x)的最小值为f(a)=a2+1.(如图(I)若，则f(x)在区间（-，a上的最小值为（如图II). 当xa时，若，则f(x)在a,+上的最小值为（如图III）。若，则f(x)在a,+上单调递增。则f(x)在a,+上的最小值为f(a)=a2+1.(如图IV)。综上，当时，f(x)最小值为。当时，f(x)最小值为a2+1。当时，f(x)最小值为。题型7：二次函数的综合问题例11已知函数和的图象关于原点对称，且。()求函数的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函数，求实数的取值范围。解析：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上，()由当时，此时不等式无解。当时，解得。因此，原不等式的解集为。（）例12已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。解析：(1)(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，于是即（3）。设，则。问题转化为：对恒成立. 即 对恒成立. （*）故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：。此时，故在取得最小值满足条件。